Cách Học Hàm Số Lượng Giác / TOP 10 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 3/2023 # Top View

II. hàm lượng giác ngược:

1. Hàm số y = arcsinx.

Hàm số y = sinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định.

Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn thì hàm số y = sinx là hàm đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arcsiny (đọc là ác-sin y, nghĩa là x là cung mà sin bằng y). Và

Do đó hàm ngược của y = sinx là (y là cung mà sin bằng x)

Vậy:

– Miền xác định: D:

– Miền giá trị:

– Hàm đồng biến trên [-1;1]

Tính chất:

–

–

–

Ví dụ:

Vd1.

Ta có: (vì: và )

Do đó:

Vd2.

Ta không thể kết luận

Do

Tuy vậy:

Nên:

2. Hàm số y = arccosx.

Xét hàm số y = cosx trên đoạn thì hàm số y = cosx là hàm  giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arccosy (đọc là ác-cos y, nghĩa là x là cung mà cosin bằng y).

Vậy

Do đó hàm ngược của y = cosx là (y là cung mà cosin bằng x)

Vậy:

– Miền xác định: D:

– Miền giá trị:

– Hàm nghịch biến trên [-1;1]

Tính chất:

–

–

–

Ví dụ:

Vd1.

Ta có:

Nên:

Vd2.

Ta cần xác định arccos0.4. Đặt y = arccos0.4 , .

Suy ra cosy = cos(arccos0.4) = 0.4

Khi đó: (do nên )

Vậy:

3. Hàm số y = arctanx

Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm y = tanx. Hàm ngược y = arctanx có miền xác định và miền giá trị

–

–

–

4. Hàm số y = arccotgx

Hàm y = arccotgx là hàm ngược của hàm y = cotgx. Hàm ngược y = arccotgx có miền xác định và miền giá trị

–

–

–

5. Một số tính chất của hàm lượng giác ngược:

–

–

–

–

–

6. Bài tập áp dụng:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Bình chọn

Share this:

Thư điện tử

In

Facebook

Like this:

Số lượt thích

Đang tải…

27 Tháng 09, 2018

Phương pháp giải bài tập hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao tìm GTLN, GTNN.

Trước tiên, chúng ta sẽ cùng tham khảo phương pháp giải dạng bài tập hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao.

Để giải được các dạng toán này các em cần thuộc lòng các bất đẳng thức sau. Đây chính là chìa khóa để cả em giải các bài tập về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hàm lượng giác.

Ngoài ra các em cũng có thể tận dụng chiếc máy tính cầm tay của mình để giải các dạng bài cơ bản. Tuy nhiên với các dạng bài tập ở mức vận dụng cao thì cần phải biết biến đổi công thức lượng giác linh hoạt.

Các bài tập nâng cao tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cos²x + 4cosx

A. min y = 5 B. min y = -2

C. miny = 7 D. min y = 8.

y = 2 cos²x + 4cosx = 2.(cosx + 1)² – 2

Áp dụng bất đẳng thức – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ cosx + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ (cosx + 1)² ≤ 4. Do đó -2 ≤ y ≤ 6.

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất y = -2 khi cosx = 1.

Phương pháp dùng biến số phụ để giải bài toán tìm GTLLN, GTNN của hàm lượng giác.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx +1.

A. min y = 5 chúng tôi y = 6

C. min y = 7 D. min y = 8

Biến đổi y = cos2x + 4cosx + 1 = 2.cos²x + 4 cosx.

Đặt t = cosx ( -1 ≤ t ≤ 1). Khi đó y = f(t) = 2t² + 4t . Lúc này các em sẽ quay về dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên 1 đoạn thông thường.

Ở bài toán này là hàm f(t) với tập xác định D = [-1; 1].

y = f(t) = 2t² + 4t ⇒ f'(t) = 4t + 4 = 0 ⇔ t = -1

⇒ f(-1) = -2 = min f(t) = min f(x)

f(1) = 6 = max f(t) = max f(x) = 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos³x – 9/2 cos²x + 3cosx + 1/2 là:

A. 1 B = -24

C. -12 D = -9.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R.

Với bài toán này, việc biến đổi hàm số và áp dụng các bất đẳng thức lượng giác để giải sẽ rất phức tạp. Trong khi đó, các em chỉ cần đặt biến phụ, bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều.

Đặt t = cosx, t ∈ [-1;1]. Hàm số trở thành y = 2t³ – 9/2t² + 3t + 1/2. Bây giờ các em sẽ vận dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc 3 để giải.

Ta có y’ = 6t² – 9t + 3, y ‘ = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

y (1) = 1 , y (-1) = 9, y (1/2) = 9/8.

Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác với tham số m

Các em có thể gặp bài toán hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao hơn với tham số m.

A. 8√2 B. 7√3

C.8√3 D. 16.

Hướng dẫn giải:

Biến đổi 3cosx – 4sinx = 5.(3/5cox – 4/5sinx).

Đặt 3/5 = sinα ⇒ cosα = 4/5. Khi đó 5. (3/5. cosx – 4/5.sinx) = 5 sin (α -x).

3 ≤ 5sin(α -x) + 8 ≤ 13 ⇒ 3 ≤ y ≤ 13, ∀ x ∈ [0; 2π].

Sách hệ thống bài tập Toán đại số cả 3 năm từ cơ bản đến nâng cao

Nội dung sách bám sát với định hướng ra đề thi của Bộ. Vì vậy em không phải loay hoay chọn sách tham khảo. Xác định được đúng mục đích học cho từng chuyên đề kiến thức. Điều này giúp em nâng cao hiệu quả ôn luyện, tránh lãng phí thời gian.

Trong chương trình Đại số lớp 10, các em đã được làm quen với các công thức lượng giác, mở đầu chương trình Đại số 11 các em sẽ tiếp tục được học các kiến thức và phương pháp giải về các bài tập hàm số và phương trình của lượng giác. Với tài liệu này chúng tôi trình bày lý thuyết và hướng dẫn chi tiết các em cách giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác bám sát chương trình sách giáo khoa. Tài liệu là một nguồn tham khảo bổ ích để các em ôn tập phần hàm số lượng giác tốt hơn.

I. Lý thuyết cần nắm để giải bài tập toán 11 phần lượng giác

Các lý thuyết phần cần nắm để giải được bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác bao gồm các hàm số cơ bản như: hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.

1. Hàm số y = sin x và y = cos x

HÀM SỐ Y = SIN X

HÀM SỐ Y = COS X

+ TXĐ: D = R

+ Hàm số lẻ

+ Tuần hoàn với chu kỳ 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1]

+ Đồng biến trên mỗi khoảng

(−π/2 + k2π;π/2 + k2π) và

nghịch biến trên mỗi khoảng

(π2 + k2π;3π/2 + k2π)

+ Có đồ thị hình sin qua điểm O (0,0)

+ Đồ thị hàm số

+ TXĐ: D = R

+ Hàm số chẵn

+ Tuần hoàn với chu kỳ 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1]

+ Đồng biến trên mỗi khoảng     

(−π + k2π; k2π) và

nghịch biến trên mỗi khoảng

(k2π;π + k2π)

+ Có đồ thị hình sin đi qua điểm (0; 1)

+ Đồ thị hàm số

2. Hàm số y = tan x và y = cot x

HÀM SỐ Y = TAN X

HÀM SỐ Y = COT X

+ TXĐ D = R ∖{π/2 + kπ, k∈Z}

+ Là hàm số lẻ

+ Tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R.

+ Đồng biến trên mỗi khoảng

(−π/2 + kπ;π/2 + kπ)

+ Nhận mỗi đường thẳng x = π/2 + kπ làm đường tiệm cận

+ Đồ thị hàm số

+ TXĐ D = R∖{kπ,k∈Z}

+ Là hàm số lẻ

+ Tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R.

+ Nghịch biến trên mỗi khoảng 

(kπ;π + kπ)

+ Nhận mỗi đường thẳng x = kπ làm đường tiệm cận

+ Đồ thị hàm số

II. Phương pháp giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác

Để giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác, chúng tôi phân thành các dạng toán sau đây:

+ Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

 - Phương pháp giải: Chú ý đến tập xác định của hàm số lượng giác và tìm điều kiện của x để hàm số xác định

 - Ví dụ: Hãy xác định tập xác định của hàm số: 

Hàm số xác định khi: 

Kết luận TXĐ của hàm số D = R∖{π/2 + kπ, k∈Z}

+ Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

 - Phương pháp giải: Để xác định hàm số y = f(x) là hàm chẵn hay hàm lẻ, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tập xác định D của f(x)

Bước 2: Với x bất kỳ  , ta chứng minh –

Bước 3: Tính f(-x)

         – Nếu f(-x) = f(x),  thì hàm số y = f(x) là hàm chẵn

         – Nếu f(-x) = -f(x),  thì hàm số y = f(x) là hàm lẻ

         – Nếu :

                     f(-x) f(x) thì hàm số y = f(x) không là hàm chẵn

                     f(-x) -f(x) thì hàm số y = f(x) không là hàm lẻ

 - Ví dụ: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau: y = tanx + 2sinx

Với x bất kỳ:  và –:

Ta có: f(-x) = tan(-x) + 2 sin(-x) = -tanx – 2sinx = -(tanx + 2sinx) = -f(x),

Vậy hàm số y = tanx + 2sinx là hàm số lẻ.

+ Dạng 3: Hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ tuần hoàn

 - Phương pháp giải: Để chứng minh y = f(x) (có TXĐ D) tuần hoàn, cần chứng minh có   TR sao cho:

Giả sử hàm số y = f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất trên

 - Ví dụ: Hãy chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.

Ta có: f(x + π) = sin 2( x+π) = sin (2x + 2π) = sin2x = f(x)

Vậy hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π

+ Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số và xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến

– Phương pháp giải: 

1. Vẽ đồ thị hàm số theo dạng các hàm số lượng giác 

2. Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Vẽ đồ thị hàm số y = cosx

Hàm số 

 - Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành

+ Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến

Hàm số đồng biến khi 

Hàm số nghịch biến khi

+ Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

 - Phương pháp giải: 

Vận dụng tính chất : 

 - Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác, mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và hướng dẫn giải chi tiết để các em dễ dàng vận dụng khi gặp các dạng bài tập hàm số lượng giác tương tự.

I. Lý thuyết về Hàm số lượng giác

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Tìm điều kiện của biến số x để hàm số xác định và chú ý đến tập xác định của các hàm số lượng giác.

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:

II. Các dạng toán về hàm số lượng giác

* Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Tìm tập xác định của hàm số:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

– Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R{kπ, k ∈ Z}.

– Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

– Do đó, (1) ⇔ (1 – cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là D = R{k2π, k ∈ Z}.

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

c) y = 5sin2x.cos3x

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx – 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

♦ Để chứng minh y=f(x) (có tập xác định D) tuần hoàn, cần chứng minh có T ∈ R sao cho: 1) x + T ∈ D; x – T ∈ D, ∀x ∈ D. 2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D. ♦ Giả sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất 1) và 2) ở trên.

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* Lưu ý: Để chứng minh hàm số y=f(x) không chẵn (hoặc không lẻ) thì ta cần chỉ ra có tồn tại x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

– Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x – π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a, với 0 < a < π sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là:

sin[2(x+a)] = sin2x, ∀x ∈ D.

Chẳng hạn, khi:

* Lời giải bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

III. Bài tập vận dụng các dạng toán về hàm số lượng giác

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Bài tập 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

Bài tập 3: Chứng minh hàm số sau tuần hoàn với chu kỳ T đã cho

Bài tập 4: Vẽ đồ thị của hàm số và xác định khoảng đồng biến nghịch biến.

Bài tập 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: