Cách Giải Phương Trình Đi Ô Phăng / TOP 11 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 3/2023 # Top View

Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax4 + bx2 + c = 0) và phương trình tích cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

– Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,…) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

– Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

a) (x – 3)(x 2 – 3x + 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x 2 – 3x + 2 = 0

+) x 2 – 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x 2 = 1; x 3 = c/a = 2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x 1 = 3; x 2 = 1; x 3 = 2.

⇔ x + 3 = 0 hoặc x 2 – 2 = 0

⇔ 3x 2 – 5x + 1 = 0 hoặc x 2 – 4 = 0

+)Giải: 3x 2 – 5x + 1 = 0

+)Giải: x 2 – 4 = 0

⇔ (x – 2)(x + 2) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

⇔ (2x 2 + x – 4 – 2x + 1)(2x 2 + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ 2x 2 – x – 3 = 0 hoặc 2x 2 + 3x – 5 = 0

+) Giải: 2x 2 – x – 3 = 0

– Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+) Giải: 2x 2 + 3x – 5 = 0

– Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x 1 = -1; x 2 = 3/2; x 3 = 1; x 4 = -5/2.

° Cách giải phương trình trùng phương ax4 +bx2 + c = 0 (a≠0).

* Đặt t = x 2 (t≥0), khi đó ta được phương trình at 2 + bt + c = 0 (2)

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

* Cụ thể như sau:

– Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.

Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.

– Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : t 2 – 5t + 4 = 0 (2)

– Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 4

– Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 2t 2 – 3t – 2 = 0 (2)

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t 1 = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

– Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 3t 2 + 10t + 3 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t 1 = -1/3 <0 và t 2 = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương

– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 9t 2 – 10t + 1 = 0 (2)

+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 1/9.

– Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.

+ Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

+ Với t = 1/9 ⇒ x 2 = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3.

– Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 5t 2 + 3t – 26 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu điều kiện chỉ có t 1 thỏa điều kiện, nên:

+ Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.

– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó, (1) trở thành : 0,3t 2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = -1 và t 2 = -c/a = -5.

– Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.

⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

– Điều kiện xác định: x ≠ 0.

– Quy đồng, khử mẫu ta được:

– Khi đó (1) trở thành : 2t 2 + 5t – 1 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương

Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.

Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.

 

Hình 1. Tiếp tuyến đi qua $A$

 

Bước 1. Gọi $k$ là hệ số góc của $Delta$. Khi đó $Delta$ có phương trình dạng là $left( Delta right):;;;y = kleft( {x – {x_A}} right) + {y_A}$.

Bước 2. Giải hệ $left{ begin{array}{l} fleft( x right) = kleft( {x – {x_A}} right) + {y_A}\ f’left( x right) = k end{array} right..$ Nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm.

Bước 3. Thay $k$ tìm được ở Bước 2 vào dạng phương trình $Delta$ có được ở Bước 1.

Ví dụ 1. $$fleft( x right) = 2x + 1$$ là hảm 

Để học tốt dạng toán này, học sinh cần xem lại chuyên đề điều kiện tiếp xúc.

Ví dụ 1.

Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $fleft( x right) = {x^3} – 3x + 1$ đi qua điểm $Aleft( {1; – 1} right).$

 

 

Giải. Đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $Aleft( {1; – 1} right)$ và có hệ số góc là $k$ có dạng $$left( Delta right):;;;y = kleft( {x – 1} right) – 1.$$  $Delta$ trở thành tiếp tuyến, tức là tiếp xúc với $left( C right)$ khi hệ sau có nghiệm $$left{ begin{array}{l} {x^3} – 3x + 1 = kleft( {x – 1} right) – 1;;;left( 1 right)\ 3{x^2} – 3 = k;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;left( 2 right) end{array} right.$$ Thay $left( 2 right)$ vào $left( 1 right)$ ta được $${x^3} – 3x + 1 = left( {3{x^2} – 3} right)left( {x – 1} right) – 1 Leftrightarrow  – 2{x^3} + 3{x^2} – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x =  – frac{1}{2}\ x = 1 end{array} right.$$ Với $x = 1 Rightarrow y =  – 1,k = 0  $. Suy ra tiếp tuyến $$left( {{Delta_1}} right):;;;y =  – 1$$ và tiếp điểm ${M_1}left( {1; – 1} right)$.

Với $x =  – {1 over 2} Rightarrow y = {{19} over 8},k =  – {9 over 4}  $. Suy ra tiếp tuyến $$left( {{Delta_2}} right):;;;y =  – {9 over 4}left( {x + {1 over 2}} right) + {{19} over 8} Leftrightarrow y =  – {9 over 4}x + {5 over 4}$$ và tiếp điểm ${M_2}left( { – {1 over 2};{{19} over 8}} right)$.

 

Ví dụ 2.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $left( C right) $ $fleft( x right) = {x^4} – 4{x^2} + 1$ đi qua điểm $Aleft( {2;1} right).$

 

 

Giải. Ta có $f’left( x right) = 4{x^3} – 8x.$ Đường thẳng $Delta$ đi qua $Aleft( {2;1} right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$left( Delta  right):y = kleft( {x – 2} right) + 1.$$ Đường thẳng $Delta$ tiếp xúc với $left( C right)$ khi hệ $$left{ begin{array}{l} {x^4} – 4{x^2} + 1 = kleft( {x – 2} right) + 1{rm{          }}left( 1 right)\ 4{x^3} – 8x = k{rm{                                }}left( 2 right) end{array} right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k=4{x^3} – 8x$ ở $left( 2 right)$ vào $left( 1 right)$ ta được $${x^4} – 4{x^2} + 1 = left( {4{x^3} – 8x} right)left( {x – 2} right) + 1 Leftrightarrow xleft( {x – 2} right)left( {3{x^2} – 2x – 8} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 2\ x = 0\ x =  - frac{4}{3} end{array} right..$$ Với $x = 2 Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}left( {2;1} right)$, hệ số góc ${k_1} = 16$ và tiếp tuyến $left( {{Delta _1}} right):y = 16x – 31.$

Với $x = 0 Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_2}left( {0;1} right)$, hệ số góc ${k_2} = 0$ và tiếp tuyến $left( {{Delta _2}} right):y = 1.$

Với $x = – frac{4}{3} Rightarrow y = – frac{239}{81}$, ta được tiếp điểm ${M_3}left( {- frac{4}{3};- frac{239}{81}} right)$, hệ số góc ${k_3} = frac{32}{27}$ và tiếp tuyến $left( {{Delta _3}} right):y = frac{{32}}{{27}}x – frac{{37}}{{27}}.$

Ví dụ 3.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $left( C right) $ $fleft( x right) = frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ đi qua điểm $Aleft( {5;-1} right).$

 

Giải. Ta có $f’left( x right) = frac{{ – 3}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$. Đường thẳng $Delta$ đi qua $Aleft( {5;-1} right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$left( Delta  right):y = kleft( {x – 5} right) – 1.$$ Đường thẳng $Delta$ tiếp xúc với $left( C right)$ khi hệ $$left{ begin{array}{l} frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = kleft( {x – 5} right) – 1{rm{          }}left( 1 right)\ frac{{ – 3}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} = k{rm{                        }}left( 2 right) end{array} right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k= frac{{ – 3}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} $ ở $left( 2 right)$ vào $left( 1 right)$ ta được $$frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = frac{{ – 3left( {x – 5} right)}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} – 1 Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x =  - 1\ x = 3 end{array} right..$$ Với $x = -1 Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}left( {-1;1} right)$, hệ số góc ${k_1} =- frac{1}{3}$ và tiếp tuyến $left( {{Delta _1}} right): y =  - frac{1}{3}x + frac{2}{3}.$

Giải. Ta có $f’left( x right) = frac{{ – 3}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$. Đường thẳng $Delta$ đi qua $Aleft( {5;-1} right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$left( Delta right):y = kleft( {x – 5} right) – 1.$$ Đường thẳng $Delta$ tiếp xúc với $left( C right)$ khi hệ $$left{ begin{array}{l} frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = kleft( {x – 5} right) – 1{rm{ }}left( 1 right)\ frac{{ – 3}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} = k{rm{ }}left( 2 right) end{array} right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k= frac{{ – 3}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} $ ở $left( 2 right)$ vào $left( 1 right)$ ta được $$frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = frac{{ – 3left( {x – 5} right)}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} – 1 Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 3 end{array} right..$$ Với $x = -1 Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}left( {-1;1} right)$, hệ số góc ${k_1} =- frac{1}{3}$ và tiếp tuyến $left( {{Delta _1}} right): y = – frac{1}{3}x + frac{2}{3}.$

Với $x = 3 Rightarrow y = 5$, ta được tiếp điểm ${M_2}left( {3;5} right)$, hệ số góc ${k_2} = -3$ và tiếp tuyến $left( {{Delta _2}} right):y = -3x+14.$

 

Ví dụ 4.

Tìm điểm $A$ thuộc $Ox$ để từ đó kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số $left( C right):y = {x^3} + 3{x^2}.$

 

Minh hoạ khi $a=frac{1}{2}$

Giải. Điểm $A$ thuộc $Ox$ nên toạ độ có dạng $Aleft( {a;0} right)$. Giả sử tiếp tuyến $T$ kẻ từ $A$ có hệ số góc $k$, suy ra $$left( T right):;;;y = kleft( {x – a} right).$$ Khi đó $T$ tiếp xúc với $left(  *  right);;;left{ begin{array}{l} {x^3} + 3{x^2} = kleft( {x – a} right){rm{          }}left( 1 right)\ 3{x^2} + 6x = k{rm{                                }}left( 2 right) end{array} right.$ Thay $left( 2 right)$ vào $left( 1 right)$ ta được $${x^3} + 3{x^2} = left( {3{x^2} + 6x} right)left( {x – a} right) Leftrightarrow xleft[ {left( {{x^2} + 3x} right) – left( {3x + 6} right)left( {x – a} right)} right] = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\   - 2{x^2} + 3left( {a – 1} right)x + 6a = 0;;;;;;left( 3 right) end{array} right.$$ Từ $A$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị $ Leftrightarrow $ HPT $left(  *  right)$ có $3$ nghiệm phân biệt $ Leftrightarrow $ PT $left(  3  right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$.  $$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} gleft( 0 right) ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 6a ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left[ begin{array}{l} a <  – 3\ end{array} right.\ a ne 0

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Để viết phương tình tiếp tuyến $Delta$ của đồ thị $left( C right)$ đi qua điểm $Aleft( {{x_A};{y_A}} right) notin left( C right)$ ta có thể làm theo các bước sau$$fleft( x right) = 2x + 1$$ là hảm

( 1. Phương trình có dạng: 1), trong đó a, b, c, d là các số thực cho trước .

2. Cách giải: Bây giờ ta đi xét cách giải phương trình (1).

Vì ( nên ta có thể chia hai vế của phương trình (1) cho a. Do vậy ta chỉ cần đi giải phương trình dạng : 2) .

Đặt ((, khi đó 2) trở thành : 3)

Trong đó: .

Đặt . Để xét số nghiệm của (3), ta khảo sát sự tương giao của hàm số với trục Ox.

Chú ý hàm bậc ba cắt Ox tại

· Một điểm hàm luôn đơn điệu hoặc

· Hai điểm

· Ba điểm

Xét hàm số , ta có: .

* Nếu là hàm đồng biến có một nghiệm.

* Nếu và

.

Từ đây ta có các kết quả sau:

* Nếu có nghiệm duy nhất. Để tìm nghiệm này ta làm như sau:

Đặt , khi đó (3) trở thành:

Ta chọn u,v sao cho: , lúc đó ta có hệ:

(là nghiệm phương trình: 4)

( 4) có hai nghiệm:

(*)

Công thức (*) gọi là công thức Cardano.

* Nếu , khi đó (3) có hai nghiệm, một nghiệm kép ( hoặc ) và một nghiệm đơn. Tức là:

hoặc (**).

* Nếu , khi đó (3) có ba nghiệm phân biệt và ba nghiệm này nằm trong khoảng . Để tìm ba nghiệm này ta đặt , với ta đưa (3) về dạng: (5), trong đó .

Giải (5) ta được ba nghiệm , từ đây suy ra ba nghiệm của phương trình (3) là :

(***).

Trong một số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta đi tìm một nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức và chuyển phương trình đã cho về phương trình tích của một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai.

Ví dụ 1: Giải phương trình : .

Giải: Ta thấy phương trình có một nghiệm (dùng MTBT) nên ta biến đổi phương trình : .

Ví dụ 2: Giải phương trình : .

Giải: Ta có: nên phương

trình có duy nhất nghiệm:

.

Ví dụ 3: Giải phương trình : (1).

Giải:

Ta có: nên phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng . Đặt với

(2) trở thành:

.

Vì nên ta có: .

Vậy phương trình có ba nghiệm: .

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

(1).

Giải: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm nên :

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác 1 .

Vậy là giá trị cần tìm.

Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt:

Giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

(2)

Yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt.

TH 1: có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm

bằng 1. Điều này có .

TH 2: có một nghiệm khác 1. Khi đó xảy ra hai khả năng

Khả năng 1: .

Khả năng 2: .

Vậy các giá trị của m cần tìm là: .

Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm. Ta chứng minh (1).

* Nếu ba nghiệm của phương trình trùng nhau thì đúng.

* Nếu ba nghiệm phương trình chỉ có hai nghiệm trùng nhau hoắc ba nghiệm đó là phân biệt. Khi đó ta có: ,

( trong đó: )

.

đpcm.

Từ cách chứng minh trên ta suy ra được nếu có (1) thì phương trình có ba nghiệm

Nguyễn Tất Thu

Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và thỏa mãn điều kiện cho trước, trong đó tọa độ A, B, C đã cho

Phương pháp giải

Gọi I (x; y; z ) là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C

⇔ IA=IB=IC

+ Dựa vào điều kiện cho trước để tìm phương trình còn lại

⇒ Phương trình mặt cầu cần tìm.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho 3 điểm A ( 2; 0; 1), B (1; 0; 0), C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)

Hướng dẫn:

Gọi I (x; y; z) là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C

⇔ IA=IB=IC

Do tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) nên: x + y + z – 2 = 0

Ta có hệ phương trình

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

Bài 2: : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A (1; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 6). Tìm phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và đi qua A

Hướng dẫn:

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C nên

⇒ I(a;3;6)

I đi qua A nên ta có IA = IB

⇔ a=5

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A (0; 8; 0), B (4; 6; 2), C (0; 12; 4) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz)

Hướng dẫn:

Do tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) nên I (0; b; c)

Mặt cầu đi qua A, B, C nên IA = IB = IC

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp