A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng
trong đó a, b, c là các số thực đã cho và a, b không đồng thời bằng 0
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng
trong đó cả hai phương trình đều là phương trình bậc nhất hai ẩn
Có hai cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc
a) Phương pháp thế. Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn qua ẩn kia rồi thay vào phương trình còn lại.
b) Phương pháp cộng. Biến đôi cho hệ số của một ẩn trong hai phương trình là hai số đối nhau rồi cộng từng vế hai phương trình lại.
3. Dạng tam giác của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là
Cách giải. Từ phương trình cuối của hệ (1) tính được z, thay vào phương trình thứ hai tính được y tồi thay vào phương trình đầu rồi tính được x.
Từ phương trình đầu của hệ (2) tính được x, thay vào phương trình thứ hai tính được y rồi thay vào phương trình thứ 3 tính được z.
Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng:
Cách giải. Dùng phương pháp Gau-xơ khử dần ẩn số để đưa về hệ phương trình dạng tam giác.
B. BÀI TẬP MẪU
Giải các hệ phương trình
a) Từ phương trình thứ nhất suy ra
Thay biểu thức của x vào phương trình thứ 2 ta được
Vậy nghiệm của phương trình là (-2; -2)
Cộng từng vế hai phương trình ta được 47y = 11 ⇔ 11/47
Thay y = 11/47 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho ta được x = 49/47
Cộng từng vế hai phương trình ta được -1,7y = -3,4 suy ra y = 2
Thay y = 2 vào một trong hai phương trình của hệ, ta được x = 3.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3; 2).
Tìm một số có hai chữ số, biết hiệu của hai chữ số đó bằng 3. Nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số bằng 4/5 số ban đầu trừ đi 10.
Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y thì số phải tìm là l0x + y. Điều kiện bài toán là X, V nguyên và 1 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 9
Số ban đầu là 10x + y thì số viết theo thứ tự ngược lại là 10y + y
Thay x = y + 3 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
11y = 55 ⇒ y = 5 ⇒ x = 8.
Vậy số phải tìm là 85.
Giải hệ phương trình
Nhân hai vế của phương trình đầu với 2 rồi cộng từng vế với phương trình thứ hai, ta được hệ phương trình
Nhân hai vế của phương trình đầu với -1 rồi cộng từng vế với phương trình thứ ba, ta được hệ phương trình
Như vậy, ta đã khử được ẩn x trong hai phương trình cuối. Để khử ẩn y trong phương trình thứ ba, ta nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 rồi cộng từng vế vói phương trình thứ ba ta được hệ phương trình có dạng tam giác
Từ phương trình cuối cùng suy ra z = 8/19. Thay giá trị này của z vào phương trình thứ 2, ta được y = 17/38. Cuối cùng, thay các giá trị của y và z vừa tìm được vào phương trình đầu ta tìm được x = 171/76
Vậy nghiệm của phương trình là
Giải hệ phương trình
Nhận xét. Đối với hệ phương trình này, việc khử ẩn x không đơn giản lắm. Tuy nhiên, nếu chú ý đến hệ số của z ở ba phương trình, ta thấy dễ khử ẩn z ở hai phương trình cuối.
Nhân hai vế của phương trình đầu với 2 rồi cộng từng vế với phương trình thứ hai. Nhân hai vế của phương trình đầu với -3 rồi cộng từng vế với phương trình thứ ba, ta được hệ phương trình
Đến đây, ta thấy dễ khử ẩn x (hoặc ẩn y) trong phương trình thứ ba. Chẳng hạn, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 8 rồi cộng từng vế với phương trình thứ ba, ta được
Hệ phương trình này có dạng tam giác. Giải lần lượt từ phương trình thứ ba lên ta được x = 15, y = 21, z = -1
Đáp số: (x; y; z) = (15; 21; -1)
Ba cò Lan. Hương và Thuý cùng thêu một loại áo giống nhau. Số áo của Lan thêu trong 1 giờ ít hơn tổng số áo của Hường và Thuý thêu trong 1 giờ là 5 áo. Tổng số áo của Lan thêu trong 4 giờ và Hương thêu trong 3 giờ nhiều hơn số áo cua Thuý thêu trong 5 giờ là 30 áo. Số áo của Lan thêu trong 2 giờ cộng với số áo của Hương thêu trong 5 giờ và số áo của Thuý thêu trong 3 giờ tất cả được 76 áo. Hỏi trong 1 giờ mỗi cỏ thêu được mấy áo ?
Gọi x, y, z lần lượt là số áo của Lan, Hương, Thúy thêu trong 1 giờ. Điều kiện là x, y, z nguyên dương.
Từ giả thiết của bài toán ta có
Đưa về tam giác, ta được hệ phương trình
Hệ này có nghiệm (x; y; z) = (9; 8; 6).
Kết luận. Trong một giờ, Lan thêu được 9 áo. Hương thêu được 8 áo. Thúy thêu được 6 áo.
3.26 Một công ty có 85 xe chở khách gồm hai loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách. Dùng tất cả số xe đó. tối đa công ty chở một lần được 445 khách. Hỏi công ty đó có mấy xe mỗi loại ?
3.27 Giải các hệ phương trình:
3.28. Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi
3.29. Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi:
Một chủ cửa hàng bán lẻ mang 1 500 000 đồng đến ngân hàng đổi tiền xu để trả lại cho người mua. Ông ta đổi được tất cả 1 450 đồng tiền xu các loại 2000 đồng, 1000 đồng và 500 đồng. Biết rằng số tiền xu loại 1 000 đồng bằng hai lần hiệu của số tiền xu loại 500 đồng với số tiền xu loại 2000 đồng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu đồng tiền xu ?
Tìm giá trị của m để các hệ phương trình sau vô nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
có nghiệm là:
3.33 Nghiệm của hệ phương trình
vô nghiệm khi m nhận giá trị:
Một công ti kinh doanh xe buýt có 35 xe gồm hai loại : loại xe chở được 45 khách và loại xe chở được 12 khách. Nếu dùng tất cả số xe đó tối đa công ti chở một lần được 1113 khách. Vậy công ti có số xe mỗi loại là :
A. 20 xe 45 chỗ, 15 xe 12 chỗ.
B. 17 xe 45 chỗ, 18 xe 12 chỗ.
C. 21 xe 45 chỗ, 14 xe 12 chỗ.
D. 19 xe 45 chỗ, 16 xe 12 chỗ.
có nghiệm là:
3.37. Một khách sạn có 102 phòng gồm ba loại : phòng 3 ngựời, phòng 2 người và phòng 1 người. Nếu đầy khách tất cả các phòng thì khách sạn đón được 211 khách. Còn nếu cải tạo lại các phòng bằng cách : sửa các phòng 2 người thành phòng 3 người, còn phòng 3 người sửa lại thành phòng 2 người và giữ nguyên các phòng 1 người thì tối đa một lần có thể đón đến 224 khách.
Vậy số phòng từng loại hiện nay của khách sạn là
A. 50 phòng 3 người, 41 phòng 2 người, 11 phòng 1 người.
B. 32 phòng 3 người, 45 phòng 2 người, 25 phòng 1 người,
C. 41 phòng 3 người, 51 phòng 2 người, 10 phòng 1 người.
D. 25 phòng 3 người, 59 phòng 2 người, 18 phòng 1 người.
Một số có ba chữ số. Nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 17 và dư 5. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng trăm cho nhau thì được số mới mà chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 30 và dư là 4. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số mới này cho nhau thì được một số mà chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 34 và dư là 3. Vậy số đã cho ban đầu là : A. 172; B. 296; C. 124 ; D. 587.