Cách Giải Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức / 2023 / Top 14 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 12/2022 # Top View | Englishhouse.edu.vn

Chương Iv. §2. Căn Bậc Hai Của Số Phức Và Phương Trình Bậc Hai / 2023

Chương IV. §2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Thạc sĩ toán học Nguyễn Văn ThườngKIỂM TRA BÀI CŨCÂU 1CÂU 2Định nghĩa căn bậc hai của số phức, tìm căn bậc hai của các số phức:-5 và 3+4iĐịnh nghĩa: Cho số phức W. Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của số phức W.+ Căn bậc hai của -5 là vì+Gọi x + yi (x,yR) là căn bậc hai của số phức 3 + 4i ta có:Hệ trên có hai nghiệm làVậy có hai căn bậc hai của 3+4i là : z = 2+i và z = -2-iNêu công thức nghiệm của phương trình Az2 +Bz +C = 0, với A, B, C là các số phức và A≠ 0. Áp dụng làm bài tập 23a, c. Đáp ánĐáp ánÁp dụnglà các số phức và A≠ 0.Với  là một căn bậc hai của Áp dụngTiết 73 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của số phức W.là các số phức và A≠ 0.Với  là một căn bậc hai của Phương trình bậc haiBài 24Biểu diễn tập nghiệm trong mặt phẳng phức+ z + 1= 0  z1 = – 1A-1BC0xyPhương trình có 4 nghiệmĐáp ána.Tiết 73 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của số phức W.là các số phức và A≠ 0.Với  là một căn bậc hai của Phương trình bậc haiBài 24Biểu diễn tập nghiệm trong mặt phẳng phứcA-1BC0xyĐáp ánDA, B, C, D biểu diễn cho các số phứcTiết 73 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của số phức W.phức và A≠ 0.Với  là một căn bậc hai của Phương trình bậc haiBài 25a. Tìm các số thực b, c để pt (a) (ẩn z) nhận z =1+i làm một nghiệm b. Tìm các số thực a, b, c để pt (b) (ẩn z) nhận z =1+i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệmlà các sốVì 1+i là một nghiệm của (a) nên:b. Vì 1+i là nghiệm của (b) nên: *Vì 2 là nghiệm của (b) nên Giải hệ (1), (2), (3) ta được Tiết 73 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của số phức W.phức và A≠ 0.Với  là một căn bậc hai của Phương trình bậc haiBài 26a. Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực là các sốtừ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phứcHãy so sánh cách giải nàyVới cách giải trong bài học *Với mọi số thực  ta có:Suy ra các căn bậc hai của Là:*Gọi x + yi là căn bậc hai của Suy ra các căn bậc hai của Tiết 73 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của số phức W.phức và A≠ 0.Với  là một căn bậc hai của Phương trình bậc haiBài 26b. Tìm các căn bâc hai của số phức bằng cách trên và bằng cách dùng định nghĩalà các sốLà:*Gọi x + yi là căn bậc hai của Vậy các căn bậc hai của Vậy các căn bậc hai của C1C2Tiết 73 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của số phức W.phức và A≠ 0.Với  là một căn bậc hai của Phương trình bậc hailà các sốNếu số phức W có dạngThì các căn bậc hai của W làvề nhà làm hết các phần còn lại.Đọc trước bài DẠNG LUỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên Bậc Hai, Hai Ẩn. / 2023

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn. II.NỘI DUNG A. Xét phương trình a1 x 2 + a2 xy + a3 x + a4 y + a5 y 2 + a6 = 0 .Trong đó a1 ≠ 0 hoặc a2 ≠ 0 , a5 ≠ 0 B. Các phương pháp giải. a.Phương pháp thứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương A = 0 Dạng 1. A + B + C = 0 ⇔  B = 0 C = 0  2

2

2

Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên: 5 x 2 + 2 y 2 + 4 xy + 9 y − 8 x + 14 = 0(1)

Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ sổ là số chính phương, do đó 5×2 = 4 x2 + x2 2 y2 = y2 + y2

Phương trình (1) ⇔ 4x 2 + x 2 + y 2 + y 2 + 4 xy − 4 x − 4 x + 9 y + 14 = 0 Ta coi bình phương của một tam thức (a + b + c) 2 = ((a + b) + c)2 là bình phương

của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c. Vậy (1) ⇔ 4x 2 + x 2 + y 2 + y 2 + 4 xy − 4 x − 4 x + 9 y + 14 = 0

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

1

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ⇔ ((2 x) 2 + 2.2 x( y − 1) + ( y − 1) 2 ) + ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 0

( 2 x + y − 1) + ( x − 2 ) + ( y − 3) 2

2

2

=0

Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 2 x 2 + 5 y 2 + 14 − 4 xy − 8 y − 4 x = 0 2, 5 x 2 + 2 y 2 + 14 + 4 xy − 4 y + 8 x = 0 3, 5 x 2 + 10 y 2 + 3 − 12 xy + 8 y − 2 x = 0 4, 10 x 2 + 5 y 2 + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = 0 5, 10 x 2 + 4 y 2 + 34 − 12 xy + 20 y − 36 x = 0 Giải: 1, 2 x 2 + 5 y 2 + 14 − 4 xy − 8 y − 4 x = 0 ⇔ x 2 + x 2 + 4 y 2 + y 2 − 4 xy − 8 y − 4 x + 14 = 0 ⇔ ( x − 2 y + 1) + ( x − 3) + ( y − 2 ) = 0 2

2

2

2

2

3, 5 x 2 + 10 y 2 + 3 − 12 xy + 8 y − 2 x = 0 ⇔ 4 x 2 + x 2 + 9 y 2 + y 2 − 12 xy − 2 x + 8 y + 3 = 0

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

2

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ⇔ ( 2 x − 3 y − 1) + ( x + 1) + ( y + 1) = 0 2

2

2

4, 10 x 2 + 5 y 2 + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = 0 ⇔ x 2 + 9 x 2 + 4 y 2 + y 2 + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = 0

(

) (

)

⇔ (( 3x ) − 2.3 x. ( 2 y + 5 ) + ( 2 y + 5) ) + x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 4 y + 4 = 0 2

2

⇔ ( 3 x − 2 y − 5 ) + ( x − 3) + ( y − 2 ) = 0 2

2

2

5, 9 x 2 + x 2 + 4 y 2 + 34 − 12 xy + 20 y − 36 x = 0 ⇔ ( 3 x + 2 y − 5 ) + ( x − 3) = 0 2

2

2

2

2

2

2

và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình: x2 − x − 6 + y 2 = 0 ⇔ 4 x 2 − 4 x − 24 + 4 y 2 = 0 ⇔ (2 x − 1) 2 + (2 y )2 = 25 = 32 + 42 = 02 + 52

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

3

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.  2 x − 1 = 3  x = 2; −1 Do 2x-1 lẻ nên  2 y = 4 ⇔   y = ±2  x = 3; −2  2 x − 1 = 5 ⇔  y = 0  2 y = 0

Hoặc

Phương trình đã cho có nghiệm: (x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương: 1, x 2 = 100 + 6 xy − 13 y 2 2, x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 169 Giải: 1, x 2 = 100 + 6 xy − 13 y 2 ⇔ x 2 − 6 xy + 9 y 2 + 4 y 2 = 100 ⇔ x − 3 + 2 y = 100 = 62 + 82 = 02 + 102 2

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

( x, y ) = {( 9; 4 ) (11;3)( 3;5 ) }

2, x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 169 ⇔ x 2 − 4 xy + 4 y 2 + y 2 = 169 ⇔ x − 2 y 2 + y 2 = 169 = 12 2 + 52 = 0 2 + 132

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

( x, y ) = {( 22;5) (19;12 )( 26;13) }

b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử Dạng 1.

Dạng 2.

A.B.C… = m.n.p… (Với m, n,p là các số nguyên)

và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 3 x 2 + 10 xy + 8 y 2 = 96 ⇔ 3x 2 + 6 xy + 4 xy + 8 y 2 = 96 ⇔ ( x + 2 y )(3x + 4 y ) = 96 = 16.6 = 12.8 = 24.4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( x, y ) = ( 4;1) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, y 2 = x 2 + x + 6 Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

5

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 2, x 2 − 25 = y ( y + 6 ) 3, x 2 − 6 xy + 5 y 2 = 121 4, 5 ( x + y ) = 3xy − 2 5, x 2 − x − xy + 3 y − 6 = 0 Giải: 1, y 2 = x 2 + x + 6 ⇔ 4 y 2 = 4 x 2 + 4 x + 24 ⇔ (2 y )2 − (4 x 2 + 4 x + 1) = 23 ⇔ (2 y )2 − (2 x + 1) 2 = 23

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 5; 6 ) , ( −6; 6 ) , ( −6; −6 ) , ( 5; −6 )} 2, x 2 − 25 = y ( y + 6 )

⇔ x 2 − y 2 + 6 y + 9 = 16 ⇔ x2

2

2

⇔ ( x − y − 3)( x + y + 3) = 16

Do ( x − y − 3) ≤ ( x + y + 3) Và ( x − y − 3) ; ( x + y + 3) cùng tính chẵn lẻ nên

( x − y − 3)( x + y + 3) = 2.8 = 4.4 = ( −8 )( −2 ) = ( −4 )( −4 )

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

6

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 5; 0 ) ( −5; 0 )( 4; −3)( −4; −3)} 3, x 2 − 6 xy + 5 y 2 = 121 ⇔ x 2 − 6 xy + 9 y 2 − 4 y 2 = 121 ⇔ ( x − 3 y ) − ( 2 y ) = 121 2

2

(

Nếu y = 30 Thì x − 90 = 61 ⇒ x = 151; 29 Nếu y = −30 Thì x + 90 = 61 ⇒ x = −151; −29

Vậy phương trình đã cho cónghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 29;30 ) , (151;30 ) , ( −29; −30 ) , ( −151; −30 ) , (11;0 ) , ( −11;0 )} 4, 5 ( x + y ) = 3xy − 2

⇔ 5 ( x + y ) − 3xy = −2

⇔ 15 ( x + y ) − 9 xy = −6 ⇔ 15 x − 9 xy = −6 ⇔ 3 x ( 5 − 3 y ) − 5 ( 5 − 3 y ) + 25 = −6 ⇔ ( 3 x − 5 )( 3 y − 5 ) = 31

Không mất tính tổng quát giả sử x ≤ y ⇒ 3x − 5 ≤ 3 y − 5

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

7

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 2;12 ) (12; 2 ) } 5, x 2 − x − xy + 3 y − 6 = 0 ⇔ x 2 − 3x − xy + 3 y + 2 x − 6 = 0 ⇔ x ( x − 3) − y ( x − 3) + 2 ( x − 3) = 0 ⇔ ( x − 3)( x − y + 2 ) = 0  x = 3; y ∈ Z ⇔  y = x + 2; x ∈ Z

c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia là hằng số.Chẳng hạn f ( x , y ) = 0 ta coi y hằng số. Dạng 1. nếu ∆ y = ay 2 + by + c có hệ số a < 0. hoặc ∆ y = by + c có hệ số b < 0. Để phương trình f( x , y ) = 0 có nghiệm thì ∆ y ≥ 0 từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên: (3 x 2 + xy + y 2 ) = x + 8 y ⇔ 3x 2 + (3 y − 1) x + 3 y 2 − 8 y = 0

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có Để pt đã cho có nghiệm thì

∆ y = −27 y 2 + 9 y + 1 .

∆ y = −27 y 2 + 9 y + 1 ≥ 0 ⇔ −0, 01 ≤ y ≤ 3,3; y ∈ Z

y ∈ {0,1, 2,3} Thay vào ta được

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

8

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. x = 1 ⇔ 3x 2 + 2 x − 5 = 0 ⇒   x = −5 3  2 Nếu y = 2 ⇒ 3x + 5 x − 4 = 0 ∆ = 25 + 48 = 73 (không phải là số chính phương) Nếu y = 3 ⇒ 3x 2 + 8 x + 3 = 0 ∆ / = 16 − 9 = 7 (không phải là số chính phương)

pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, x 2 + xy + y 2 − 2 x − y = 0 2, x 2 − xy + y 2 = x + y Giải: 1, x 2 + xy + y 2 − 2 x − y = 0 ⇔ x 2 + x ( y − 2 ) + y 2 + y = 0 ∆ = y2 − 4 y + 4 − 4 y2 + 4 y ∆ = 4 − 3y 2

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 4 − 3 y 2 ≥ 0 ⇔ y 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 Nếu y = −1 ⇒ x 2 − x + 1 − 2 x + 1 = 0 x = 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒  x =1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:

( x, y ) = {(1; −1) , ( 2; −1) , ( 0; 0 ) , ( 2; 0 ) , (1;1) , ( 0;1)} 2, x 2 − xy + y 2 = x + y

⇔ x 2 − x ( y + 1) + y 2 − y = 0 ∆ = y 2 + 2 y + 1 − 4 y 2 + 4 y = −3 y 2 + 6 y + 1

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì ∆ ≥ 0 ⇔ −3 y 2 + 6 y + 1 ≥ 0 ⇔ −0,154 ≤ y ≤ 2,154 y ∈ {0;1; 2}

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

9

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Nếu y = 0 ⇒ x 2 − x = 0 x = 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇒  x = 0 Nếu y = 1 ⇒ x 2 − 2 x = 0 x = 2 ⇔ x2 − 2x = 0 ⇒  x = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:

( x, y ) = {( 0; 0 ) , (1;0 ) , ( 0;1) , ( 2;1) , (1; 2 ) , ( 2; 2 )}

Dạng 2. Nếu ∆ y = ay 2 + by + c có hệ số a là một số chính phương Để phương trình f( x , y ) = 0 có nghiệm thì ∆ y = m 2 từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên: 1, x 2 + 2 y 2 + 3xy − 2 x − y = 6 ⇔ x 2 + (3 y − 2) x + 2 y 2 − y − 6 = 0

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. ∆ y = y 2 − 8 y + 16 + 12

Pt đ ã cho vô nghiệm 2, xy − 2 y − 3x + x 2 = 6 ⇔ x 2 − x ( y − 3) − 2 y − 6 = 0 Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. ∆ y = y 2 − 6 y + 9 + 24 Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

10

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Để pt đã cho có nghiệm thì ∆ y = m 2 ∆ y = y 2 + 2 y + 1 + 32 = m 2 ⇔ m 2 − ( y + 1)2 = 32

(

)( m − y + 1 ) = 32 Do ( m + y + 1 ) ≥ ( m − y + 1 ) Và ( m + y + 1 ) ; ( m − y + 1 ) có cùng tính chẵn lẻ, ( m + y + 1 ) ≥ 0 nên ( m − y + 1 ) ≥ 0 .Ta có ⇔ m + y +1

− y +1 = 4

Nếu y = 6 ⇒ x 2 − 3x − 12 + 6 x − 6 = 0 ⇔ x 2 + 3x − 18 = 0 −3 + 9 −3 − 9 = 3 ; x2 = = −6 2 2 Nếu y = −8 ⇒ x 2 − 3x + 16 − 8 x − 6 = 0 ⇔ x 2 − 11x + 10 = 0 phương trinh có nghiệm: x1 = 1; x2 = 10 ∆ = 9 + 4.18 = 81 ⇒ x1 =

Nếu y = 1 ⇒ x 2 − 3 x − 2 + x − 6 = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 8 = 0 ∆ / = 1 + 8 = 9 ⇒ x1 = 1 + 3 = 4 ; x2 = 1 − 3 = −2 Nếu y = −3 ⇒ x 2 − 3 x + 6 − 3x − 6 = 0 ⇔ x 2 − 6 x = 0 ⇒ x1 = 0 ; x2 = 6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:

( x, y ) = {( 3;6 ) , ( −6;6 ) , (10; −8) , (1; −8 ) , ( 4;1) , ( −2;1)( 0; −3)( 6; −3)}

3, x 2 + xy + y 2 − x 2 y 2 = 0

(

)

⇔ x 2 1 − y 2 + xy + y 2 = 0

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x.

(

)

(

∆ y = y2 − 4 y2 1 − y2 = y2 − 4 y2 + 4 y4 = 4 y4 − 3 y2 = y2 4 y2 − 3

)

Để pt đã cho có nghiệm thì ∆ y là số chính phương

(

⇒ 4 y 2 − 3 = m2 ⇔ 2 y − m = 3 ⇔ 2 y − m 2

2

)( 2y + m ) = 3

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

11

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Nếu y = 1 ⇒ x 2 + x + 1 − x 2 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 Nếu y = -1 ⇒ x 2 − x + 1 − x 2 = 0 ⇔ − x + 1 = 0 ⇔ x = 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( −1;1) , (1; −1) } d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương: Nếu phương trình f( x , y ) = 0 có dạng A2( x , y ) = B( x ) hoặc A2( x, y ) = B( y ) Thì  B( x ) = m2  B( y ) = m 2 hoặc    B( x ) ≥ 0  B( y ) ≥ 0

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình; x 2 + ( x + y ) 2 = ( x + 9)2 ⇔ ( x + y − 9) 2 = 9(9 − 2 y )

Do 18-2y chẵn và18-2y<18 . để pt có nghiệm thì 18-2y là số chính phương. 18 − 2 y = 0 ⇔ y = 9; x = 0

18 − 2 y = 42 = 16 ⇒ y = 1; x = 20 18 − 2 y = 22 = 4 ⇒ y = 7; x = 8

Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1) C. Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn: 1. Giải phương trình nghiệm nguyên a. x4 – 2y4 – x2y2 – 4×2 – 7y2 -5 = 0 Đ ặt t=x2 ta c ó: t2 – 2y4 – ty2 – 4t – 7y2 -5 = 0 ⇔ t2 – (y2 + 4)t -(2y4 + 7y2 + 5) = 0 Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn b. Giải phương trình nghiệm nguyên x3 + 7y = y3 +7x (x≠y) ⇔ x3 – y3 = 7(x-y) ⇔x2 +xy + y2 =7 ⇔x2 +xy +y2 – 7 =0 ∆ y = y 2 − 4 y 2 + 28 = 28 − 3 y 2

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì ∆ y ≥ 0 ⇒ 28 − 3 y 2 ≥ 0 ⇔ y 2 ≤ 9 ⇔ y 2 ∈ {1; 4;9}

Nếu y = -1 ⇒ x 2 − x + 1 − 7 = 0 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 ⇔ x1 = −2; x2 = 3 Nếu y = 1 ⇒ x 2 + x + 1 − 7 = 0 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔ x1 = 2; x2 = −3 Nếu y = -2 ⇒ x 2 − 2 x + 4 − 7 = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x1 = −1; x2 = 3 Nếu y = 2 ⇒ x 2 + 2 x + 4 − 7 = 0 ⇔ x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = −3 Nếu y = 3 ⇒ x 2 + 3x + 9 − 7 = 0 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ x1 = −1; x2 = −2 Nếu y = -3 ⇒ x 2 − 3x + 9 − 7 = 0 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = 2

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

12

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:

( x, y ) = {( −2; −1) , ( 3; −1) , ( 2;1) , ( −3;1) , ( −1; −2 ) , ( 3; −2 )(1; 2 )( −3; 2 )( −1;3)( −2;3)(1; −3)( 2; −3)}

III. KẾT LUẬN: Qua giảng dạy rút ra cho học sinh những phương pháp giải cụ thể cho từng loại toán thì học sinh có thói quen nhận dạng và sử dụng phương pháp giải thích hợp và phát huy khả năng tư duy của học sinh. Tuy nhiên bài viết có thể có nhiều sai sót mong quý bạn đọc góp ý giúp đỡ. Tôi xin chân thành cảm ơn. Ngày 30 tháng 5 năm 2008 Người viết: Phan Thị Nguyệt.

Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

13

Tính M Để Phương Trình Bậc Hai Có Hai Nghiệm Trái Dấu / 2023

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu, cùng dấu, cùng dấu âm, cùng dấu dương

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

* Nếu phương trình

* Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

* Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Bài 1: Tìm m để phương trình

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Với

Với

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 3: Tìm m để phương trình

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm

Với

Với

Với

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 4: Tìm m để phương trình

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương

Với

Với

Với

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương, hai nghiệm cùng dấu âm

Bài 1: Tìm m để phương trình

Bài 2: Tìm m để phương trình

Bài 3: Tìm m để phương trình

Bài 4: Tìm m để phương trình

Bài 5: Tìm m để phương trình

Bài 6: Tìm m để phương trình

Bài 7: Tìm m để phương trình

Bài 8: Tìm m để phương trình

Bài 9: Tìm m để phương trình

Bài 10: Cho phương trình

Tìm Căn Bậc Hai Của Số Phức / 2023

Tìm căn bậc hai của số phức

Phương pháp giải

Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

+a < 0 ; a có các căn bậc hai là .

+ a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0.

Trường hợp w = a + bi;a, b ∈ R; b ≠ 0

Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z 2 = w, tức là

Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x + y.i của số phức w = a + bi.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của w = -5 + 12i.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của số phức w = -5 + 12i

Vậy số phức w có hai căn bậc hai là 2 + 3i và -2 – 3i.

Ví dụ 2: Khai căn bậc hai số phức z = -3 + 4i có kết quả:

Hướng dẫn:

Giả sử w = x + yi là một căn bậc hai của số phức z = -3 + 4i.

Ta có:

Do đó z có hai căn bậc hai là:

Ví dụ 3: Tính căn bậc hai của số phức z = 8 + 6i ra kết quả:

Hướng dẫn:

Giả sử w = x + yi là một căn bậc hai của số phức z = 8 + 6i.

Ta có:

Do đó z có hai căn bậc hai là

Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Cho z = 3 + 4i. Tìm căn bậc hai của z.

A. -2 + i và 2 – i B. 2 + i và 2 – i

C. 2 + i và -2 – i D. 3 – 2i và 2 – 3i

Hướng dẫn:

Giả sử w = x + yi là một căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.

Ta có:

Do đó z có hai căn bậc hai là

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Căn bậc hai của số phức 4 + 6√5i là:

A.-(3 + √5i) B.(3 + √5i) C. D. 2

Hướng dẫn:

Giả sử w là một căn bậc hai của 4 + 6√5i. Ta có:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33 – 56i. Phần thực của z là:

A. 6 B. 7 C. 4 D. -4

Hướng dẫn:

Do đó phần thực của z là 7.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 7: Trong C , căn bậc hai của -121 là:

A. -11i B. 11i C. -11 D.11i và -11i

Hướng dẫn:

Ta có: z = -121 nên z = (11i) 2.

Do đó z có hai căn bậc hai là z = 11i và z = -11i

Chọn đáp án D.

Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của -9.

A. ±3i B. -3 C. 3i D. -3i

Hướng dẫn:

Ta có -9 = 9i 2 nên -9 có các căn bậc hai là 3i và -3i.

Chọn đáp án A.

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi