Cách Giải Phương Trình Bậc Cao Lớp 9 / TOP 3 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 3/2023 # Top View

Microsoft Exel là một công cụ tính toán rất mạnh. Exel có thể làm được rất nhiều việc từ đơn giản đến phức tạp như thực hiện các bảng tính toán đơn giản hay lập các bảng thống kê kinh tế, báo cáo tài chính. v . .v . . Việc giải các phương trình bậc cao hay các hệ phương trình nhiều biến là một công việc khá khó khăn. Tuy nhiên có sự may mắn là hiện nay ta có nhiều công cụ hỗ trợ để giải quyết các công việc này như máy tính cá nhân, máy vi tính với các phần mềm có sẵn, trong đó có phần mềm MS Excel. Bài viết này nhằm giới thiệu cách giải một phương trình bậc cao bằng cách sử dụng phần mềm MS Excel.

Giả sử ta có phương trình bậc 3 là:

– Dòng 1: Bạn tạo các cột các hệ số A,B,C,D và ẩn X, hàm f(x).Như hình sau đây

– Dòng 2: Tương ứng với các hệ số A,B,C,D ẩn X,Hàm f(x) bạn nhập giá trị ở dòng này.Như hình sau đây

Note: Ẩn X : khi này bạn cho 1 giá trị bất kì,k cần thiết là nghiệm.Cho giá trị nào cũng được

Tại ô giá trị hàm f(x): Bạn gõ công thức : =4X^3+5X^2+6X+7

Trong Exel mình sẽ nhập giá trị A=4,… tại các cột dòng 2.Bạn làm vậy khi giải phương trình khác bạn chỉ cần nhập A,B,C,D chứ k phải viết lại

Của mình sẽ là =H8*L8^3+I8*L8^2+J8*L8+K8

Như hình sau đây:

Bạn vào Tool chọn Goal Sheet ( đối với Exel 2003 )

Bạn vào Data chọn What – if Analysis chọn Goal Sheet ( đối với Exel 2007 )

Như hình sau đây :

Khi đó bảng Goal Sheet sẽ hiện ra như sau

Giải thích về cái bảng này chút:

Bạn nhập như này cho mình:

xong ấn ok giá trị bạn thu được tại X sẽ là nghiệm của phương trình

Chú ý: Exel chỉ có thể tính gần đúng nghiệm cho bạn chữ k thể tính được nghiệm chuẩn xác.

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 1

ĐẶT VẤN ĐỀ Giải bài tập toán là một trong những phương tiện dạy học rất quan trọng giúp học sinh củng cố và khắc sâu nội dung bài học. Chỉ có thể thông qua các bài tập ở các hình thức khác nhau tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt những kiến thức một cách tự lực. Để giải quyết những tình huống cụ thể khác nhau thì những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, hoàn thiện và trở thành vốn riêng của học sinh. Bài tập toán là phương tiện rất tốt để phát triển tư duy đồng thời rèn luyện cho học sinh đức tính kiên trì, chịu khó; khả năng vận dụng lý thuyết vào thực tiễn. Bài tập về phương trình bậc cao rất đa dạng cho nên phương pháp giải cũng phong phú. Các em thường tỏ ra lúng túng, bế tắc không biết làm thế nào để hạ bậc của biến, đặt ẩn phụ như thế nào, nên chọn cách giải nào chúng tôi thực tế giảng dạy, tham khảo tài liệu, tôi đã rút ra được một số phương pháp nhằm phần nào khắc phục các khó khăn trên của học sinh, giúp các em có thêm tự tin và hứng thú hơn khi giải các bài toán ở phần này. Trong khuôn khổ bài viết này tôi chỉ nêu ra “Một số phương pháp giải phương trình bậc cao” dành chủ yếu cho đối tượng là học sinh khá, giỏi lớp 9 và giải một số bài toán điển hình của phần này. Nội dung của bản sáng kiến được chia làm 2 phần: Phần I: Phương pháp giải một số phương trình bậc cao đặc biệt + Phương trình tam thức + Phương trình đối xứng: – Phương trình đối xứng bậc chẵn – Phương trình đối xứng bặc lẻ + Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c Phần II: Phương pháp giải một số phương trình bậc cao khác + Phân tích vế trái thành nhân tử – Phương pháp thử nghiệm

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 2 – Phương pháp hệ số bất định. + Phương pháp đặt ẩn phụ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT

1. Phương trình tam thức: phương trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 (a ≠ 0) (*) Phương pháp giải: đặt y = xn ta đưa về dạng ay2 + by + c = 0 Lưu ý: Với n = 2 khi đó phương trình (*) có dạng: ax 4 + bx2 + c = 0 ( a≠ 0) được gọi là phương trình trùng phương. VD1: Giải phương trình: x4 -10×2 + 24 = 0 (phương trình trùng phương) (1) Giải: đặt x2 = y vì x2 ≥ 0 nên y ≥ 0 khi đó phương trình có dạng: y 2 – 10y + 24 = 0(1′)  =(-5)2 -1.24 = 25 – 24 = 1 phương trình (1′)có 2 nghiệm phân biệt :

x 3  6 ; x 4  6

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 = 2; x2 = -2; x3 =

6

; x4 = –

6

VD2 Giải phương trình: -2×4 + 15×2 + 27 = 0 (phương trình trùng phương) (2) Giải:

-2×4 + 15×2 + 27 = 0  2×2 – 15x – 27 = 0



=21 phương trình (2′) có 2 nghiệm:

(loại vì không thoả mãn điều kiện)

(thoả mãn điều kiện)

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 3 VD3: Giải phương trình: x4 +

+

= 0 (3)  15×4 + 19×2 + 6 = 0

Giải: Đặt y = x2 Điều kiện y ≥ 0. khi đó phương trình có dạng : 15y2 + 19y + 6 = 0 (3′)  = 192 – 4.15.6 = 1; 

phương trình có 2 nghiệm

 1

y1 =

(loại)

y2 =

(loại)

x3 +

=0

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 4 2. Phương trình đối xứng: phương trình anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 = 0 (an 0) gọi là phương trình đối xứng nếu các hệ số của những số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, nghĩa là: an = a0 an-1 = a1 an-2 = a2 ………… Lưu ý: Nếu a là một nghiệm của phương trình đối xứng thì

cũng là nghiệm của

phương trình đó. 2.1 Phương trình đối xứng bậc chẵn: là phương trình có dạng: a2nx2n + a2n-1x2n-1 + …+ a1x + a0 = 0 (a2n 0) Trong đó:

Phương pháp giải:Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia cả 2 vế của phương trình cho xn. Sau đó đặt y = x + Vì

x

y phải có điều kiện là /y/ ≥ 2

VD 5: Giải các phương trình: x4 + 2×3 – 13×2 + 2x + 1 = 0 (5) Giải: Ta thấy rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế của 2 x

phương trình (5) cho x2 ta được: x2 + 2x – 13 + 

Đặt y = x +

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 5 Ta có:

2

2

 1  15 16

PT(5′) có dạng: y2 + 2y – 15 = 0;

phương trình có 2 nghiệm:y1 = -1 – 4 = -5 (thoả mãn); 1 x

 = 25 – 4 = 21 phương trình có 2 nghiệm: x1 

y2 = -1 + 4 = 3 (thoả mãn)

x2 

Xét  = (-3)2 – 4 = 5 Phương trình có 2 nghiệm: x3 

3

;

x4 

Vậy phương trình (5) có 4 nghiệm là: x1 

x2 

x4 

VD6: Giải phương trình: x4 – 3×3 + 4×2 -3x + 1 = 0 Giải: x= 0 không phải là nghiệm nên ta chia cả 2 vế của phương trình cho x 2 ta được: 1  2 1    x  2   3 x    4 0 x x   

Đặt y = x +

2

x2 

Vậy phương trình có một nghiệm là : x = 1 VD7. Giải phương trình 2×4 – 5×3 + 13×2 – 5x + 2 = 0 (7)

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 6 Giải: Vì x = 0 không phải là một nghiệm của phương trình nên ta chia cả 2 vế cho  2 x2 ta được: 2 x  

Đặt y = x +

Phương trình (7′) có dạng 2(y2 -2) – 5y +13 = 0  2y2 – 5y + 9 = 0 (7”)  = (-5)2 – 4.2.9 = 25 – 72 =-47 < 0 Phương trình (7”) vô nghiệm. Vậy phương trình (7) vô nghiệm VD 8. x6 -3×5 + 6×4 – 7×3 + 6×2 – 3x + 1= 0 (8) Giải: Vì x = 0 không phải là một nghiệm của phương trình nên ta chia cả 2 vế cho  

3 x3 ta được:  x 

Đặt y = x +

thì

x2 

x3 

Thay vào pt(8′) ta được: y3 – 3y – 3(y2 – 2) + 6y – 7 = 0  y3 -3y2 + 3y -1 = 0

 (y – 1)3 = 0  y = 1 loại

Vậy phương trình (8) vô nghiệm 2.2 Phương trình đối xứng bậc lẻ: có dạng: a2n+1x2n+1 + a2nx2n + …+ a1x + a0 = 0 Trong đó:

= a1

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 7 Phương pháp giải: Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm là -1 nên vế trái của phương trình bậc lẻ luôn chia hết cho x + 1. Lưu ý: Khi chia 2 vế của phương trình đối xứng bậc lẻ ẩn số x cho x+ 1 ta được một phương trình đối xứng bậc chẵn. VD9: Giải phương trình: 2×3 + 7×2 + 7x + 2 = 0 (9) Giải: 2×3 + 7×2 + 7x + 2 = 0 (Đây là pt đối xứng bậc lẻ nên có 1 nghiệm là -1)  (x + 1)(2×2 + 5x + 2) = 0

 (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0

Phương trình (9) có 3 nghiệm là: x1 = -1; x2 = -2; x3 =



VD10: Giải phương trình: x5 + 3×4 -11×3 -11×2 + 3x + 1 = 0 (10)  (x +1)(x4 + 2×3 -13×2 +2x +1) = 0

Giải:



 x  1 0  x 4  2 x 3  13x 2  2 x  1 0 

Giải phương trình (10′) ta được x = -1 Giải phương trình (10”): ta thấy phương trình (10”) là phương trình đối xứng bậc chẵn có 4 nghiệm:

x1 

x2 

x4 

(đã giải ở

VD5). Vậy phương trình (10) có 5 nghiệm: x4 

x1 

x2 

x5 = -1

VD11: Giải phương trình: x5 – 2×4 +x3 + x2 – 2x + 1 = 0  (x + 1)(x4 – 3×3 + 4×2 – 3x + 1) = 0 (*)  x  1 0   4 3 2  x  3 x  4 x  3 x  1 0

Giải phương trình (11′) ta được x = -1

x3 

3

;

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 8 Giải phương trình (11”): ta thấy phương trình (2) là phương trình đối xứng bậc chẵn có 1 nghiệm là x = 1 (Đã giải ở VD6 ) Vậy phương trình (11) có hai nghiệm là: x1 = -1; x2 = 1 VD 12: Giải phương trình: x7 – 2×6 + 3×5 -x4 -x3 +3×2 – 2x +1 = 0 (12) Giải:

Phương trình (12′) có một nghiệm là x = -1 Phương trình (12”) vô nghiệm (đã giải ở VD8) Vậy phương trình (12) có một nghiệm là x = -1 Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau: a. x4 – 3×3 + 6×2 + 3x + 1 = 0 b. x4 + 2×3 – 6×2 + 2x + 1 = 0 c. x4 – x3 – x + 1 = 0 d. x5 – 3×4 + 6×3 + 6×2 – 3x + 1 = 0 e. x4 – 3×3 + 6×2 + 3x +1 ( Đề thi vào lớp 10 Trường chuyên Lê Hồng PhongTP Hồ Chí Minh) f. x4 + 2×3 – 6×2 + 2x +1 = 0 (Thi chuyên A- Bùi Thị Xuân – TP Hồ Chí Minh) g. x5 – 5×4 + 4×3 + 4×2 -5x +1 = 0 h. x6 – 5×3 + 4×2 – 5x + 1 = 0 3. Phương trình có dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c Phương pháp giải: Ta đặt

x

rồi đưa về phương trình trùng phương. Tuy

nhiên trong trường hợp (a + b) 2 ta thường đặt y = x + a hoặc y = x + b VD 11: Giải phương trình: (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 9 Giải: Đặt x + 4 = y khi đó phương trình đã cho có dạng: (y -1)4 + (y +1)4 =2  y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1+ y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1-2 = 0  2y4 + 12y2 = 0  2y2(y2 + 6)= 0  y = 0

 2y4 + 4y3 + 6y2 + 4y = 0  2y( y3 + 2y2 + 3y + 2) = 0

 2y(y + 1)(y2 + y + 2) = 0  y = 0 hoặc y = -1

Để giải phương trình bậc cao, nguời ta thường dùng cách phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình bậc cao về các phương trình bậc nhất và bậc hai. Phương pháp đặt ẩn phụ cũng thường được sử dụng. 1. Phân tích vế trái thành nhân tử

i 1; n )

bao giờ cũng đưa được về phương trình có hệ số

nguyên. Định lý: Nếu phương trình anxn +an-1xn-1 + …+a1x + a0 = 0 (1) (ai  Z nghiệm hữu tỉ thì nghiệm có dạng x =

i 1; n ).

có

(trong đó : p là ước của a0; q là ước của

 x=-6

Vậy phương trình có một nghiệm là: x1 = – 6 VD 14: Giải phương trình: x4 + x3 – 7×2 – x + 6 = 0 Nhận xét: Ta có an = 1; a0 = 6. Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là ước của 6. Các ước của 6 là: 1; 2; 3; 6

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 11 Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình ta thấy x= 1; x=-1; x= 2; x= -3 là nghiệm của phương trình. Giải: x4 + x3 – 7×2 – x + 6 = 0  (x+1)(x-1)(x- 2)(x + 3) = 0

 x+ 1 = 0 hoặc x – 1 = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x + 3 = 0  x = -1 hoặc x= 1 hoặc x = 2 hoặc x= – 3

Vậy phương trình có 4 nghiệm là: x1 = 1; x2 = -1; x3 = 2; x4 = -3 VD 15: Giải phương trình: 2×3 + x2 – 7x + 3 = 0 Nhận xét: Ta có an = 2; a0 =3 Các ước của 2 là: 1; 2, Các ước của 3 là: 1; 2; 3 Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là thương của phép chia ước của 3 cho ước của 2. Như vậy, các nghiệm có thể là: 1; 2; 3; 1 3  ;  2 2 1

Lần lượt thay vào ta thấy phương trình chỉ có một nghiệm hữu tỉ là x = 2 Giải:

1

giải PT(1): 2x -1 = 0  x = 2 giải PT(2): x2 + x – 3 = 0 Xét  = 12 -4.(-3) = 13 phương trình(2) có 2 nghiệm phân biệt: x1 

x2 

Vậy phương trình có 3 nghiệm là :

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 12 x1 

1

; x3 = 2

 0 là

nghiệm của đa thức P(x) = anxn +an-1xn-1 + …+a1x +a0 với

i 1; n .

Khi đó

vµ

là nguyên

VD 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + 2×3 – 4×2 – 5x – 6 = 0 (*) Nhận xét: Nếu (*) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của 6. Các ước của 6 là: 1; 2; 3; 6 x

1

-1

2

-2

3

-3

6

-6

-12

4

-6

3

3

-2



Thay x= 2 và x= -3 vào pt(*) ta thấy nó thoả mãn. Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm nguyên là x = 2 và x = -3 Chú ý: Việc tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình: anxn +an-1xn-1 + …+a1x + a0 = 0 (1) thường được đưa về tìm nghiệm nguyên của phương trình: xn +an-1 xn-1 + …+a1x + a0 = 0 (2) Chúng ta chuyển từ (1) sang (2) bằng cách nhân cả 2 vế của phương trình (1) với ann-1 khi đó (1) trở thành (1′):

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 13 ann xn +an-1.ann-1 xn-1 + …+a1.ann-1x + ann-1.a0 = 0 Đặt y=anx thì (1′) trở thành:

yn +an-1 yn-1 + …+a1.ann-2y + ann-1.a0 = 0

VD 18: Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình: 2×3 + x2 – 7x + 3 = 0 (1) Giải: Nhân cả 2 vế của phương trình với 22 ta được: 23×3 + 22×2 – 7.22x + 3.22 = 0  (2x)3 + (2x)2 – 14.(2x) + 12 = 0

Đặt 2x = y phương trình trở thành: y3 + y2 – 14y + 12 = 0 (2) Nếu pt(2) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là ước của 12. Các ước của 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4

6

-6

12

-12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

-24

6

-12

-8





Vậy phương trình chỉ có một nghiệm hữu tỉ là x =

1.2. Phương pháp hệ số bất định VD 19: Giải phương trình: x3 -12x + 16 = 0 Giải: Nếu vế trái phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) Ta có: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số ta có:  a  b 0   ab  c  12   ac 16 

VD 20. x3 -4×2 – 4x – 5 = 0 Giải: Nếu vế trái phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) Ta có: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số ta có:  a  b  4   ab  c  4   ac  5 

1

3

1

3

Ta có: (x + 2 ) 2

0 với

1

3

mọi x, nên (x + 2 ) 2  4  0 với mọi x nên phương trình (2) vô

nghiệm. Kết luận: Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 5. VD 21: Giải phương trình: x4 + 6×3 + 11×2 + 6x +1= 0 (1) Giải: Nếu vế trái phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x2+ax+b)(x2+cx+ d) Ta có: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hệ số ta có:  a  c 6   b  d  ac 11    ad  bc 6  bd 1

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 15  3 2  4.1 5  0 pt

(2) có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm kép:

x1 

x1 

VD 23. Giải phương trình: x4 – 4×3 – 10×2 + 37x – 14 = 0 Giải: Nếu vế trái phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x2+ax+b)(x2+cx+ d) Ta có: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hệ số ta có:

Giải pt(1): x2 -5x + 2 = 0  25  8 17 x 1, 2 

Giải pt(2): x2 + x – 7 = 0  1  28 29 x 3, 4 

Vậy phương trình có 4 nghiệm:

;

x 3, 4 

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình a. x3 + 2×2 + x – 1 = 0 b. 2×3 + 3x + 4 = 0 c. x4 + 2×3 + x + 5 = 0 d. x4 – 4×2 + 7x – 3 = 0 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đặt ẩn phụ rất đa dạng, tuỳ bài toán cụ thể để có cách đặt ẩn phù hợp . Do vậy, khi giảng dạy giáo viên cần giúp cho các em nhận diện được phương trình, biên đổi phương trình một cách linh hoạt không cứng nhắc. VD 24: Giải các phương trình:(x2 + x)2 + 4(x2 + x) -12 = 0 (*) Giải: Đặt x2 + x = y khi đó phương trình (*) có dạng:

y2 + 4y – 12 = 0

Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 17  = 22 -1.(12) = 16; 

(1)

Đặt x2 – 9x + 17 = y khi đó pt có dạng:

(y- 3)(y+ 3) =72  y2 = 81  y = 9

+ Với y = 9 ta có:

x2 – 9x +17 = 9 (1)

 x2 – 9x + 8 = 0

Phương trình (1) có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 8 + Với y = – 9 ta có: x2 – 9x + 17 = -9  x2 – 9x + 26 = 0  = 81 – 4. 26 = 81 – 104 =- 23 < 0



= 17

mãn)



Vậy phương trình có 2 nghiêm: x1 =



; x2 =



Bài tập đề nghị Giải các phương trình: a. (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b. (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72 c. (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 d. (x2 -3x + 1)(x2 – 3x + 2) =2 e. (6x + 7)2 (3x + 4)(x + 1) = 6 f. (8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1) = 3,5 g. (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2

KẾT LUẬN Để giải phương trình bậc cao có rất nhiều phương pháp khác nhau. Trong bản sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số dạng phương trình bậc cao đặc biệt và một số phương pháp giải.

Ở bài trước chúng ta đã nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba. Trong bài này chúng ta đi nghiên cứu cách giải một sô phương trình có bậc cao hơn 3. Phương pháp chung để giải phương trình bậc cao là ta tìm cách chuyển về phương trình có bậc thấp hơn, thường chúng ta chuyển về phương trình bậc hai. Để làm điều này ta thường sử dụng các phương pháp sau:

1. Phương pháp đưa về dạng tích : Tức là ta biến đổi phương trình :

.

Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:

Cách 2 : Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta luôn có sự phân tích: . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

Chú ý : * Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của .

* Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm * Nếu đa thức có tổng các hệ số chẵn bằng tổng các hệ số lẻ thì đa thức có một nghiệm.

: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình trình bậc bốn.

Ví dụ 1 : Giải phương trình : (1) .

Giải:

Ta có phương trình (1.1)

. Vậy phương trình có hai nghiệm: .

: Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức và biến đổi về phương trình (1.1). Trong nhiều phương trình việc làm xuất hiện hằng đẳng thức không còn dễ dàng như vậy nữa, để làm điều này đòi hỏi chúng ta phải có những nhạy cảm nhất định và phải thêm bớt những hạng tử thích hợp.

Ví dụ 2 : Giải phương trình : .

Giải: Phương trình

.

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: .

Chú ý :

1) Chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc làm sao mà ta biết cách tách như trên ?!. Thật ra thì chúng ta làm như sau:

Phương trình .

Ta chọn m sao cho biểu thức trong dấu phân tích được hằng đẳng thức, để có điều này ta phải có:

, phương trình này có một nghiệm , do đó ta có thể phân tích như trên.

Với phương trình bậc bốn tổng quát (I) ta cũng

có thể biến đổi theo cách trên như sau:

Ta cộng thêm hai vế của phương trình một lượng:

(1.I).

Bây giờ ta chỉ cần chọn sao cho VT của (1.I) phân tích thành hằng đẳng thức, tức là :

(2.I)

Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm. Khi đó ta sẽ đưa phương trình (1.I) về phương trình tích của hai tam thức bậc hai, từ đây ta giải hai tam thức này ta được nghiệm phương trình (I).

2) Về mặt lí thuyết thì ta có thể giải được mọi phương trình bậc bốn theo cách trên. Tuy nhiên trên thực tế thì nhiều lúc việc giải không được dễ dàng vậy, vì mẫu chốt quan trọng nhất của cách giải trên là tìm . Mặc dù (2.I) đã có cách giải nhưng không phải giá trị lúc nào cũng “đẹp”, nên sẽ khó khăn cho các phép biến đổi của chúng ta.

Ví dụ 3: Giải phương trình : (4).

, phương trình này có nghiệm: .

Do vậy

,

và .

Đưa về phương trình tích ngoài cách tạo ra hằng đẳng thức ở trên, ta còn có cách khác là sử dụng phương trình hệ số bất định. Chẳng hạn xét ví dụ trên. Ta phân tích:

Khai triển rồi đồng nhất các hệ số ta có được hệ phương trình :

.

Từ phương trình cuối ta chọn: , thay vào ba phương trình đầu ta có:

ta thấy hệ này vô nghiệm, do đó ta chọn , thay vào ta giải được và

Vậy: .

Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.

(5).

Khi gặp bài toán này có lẽ các bạn sẽ suy nghĩ không biết nên xử lí theo hướng nào? Vì phương trình này không có nghiệm đặc biệt, nếu sử dụng phương trình phân tích bình phương thì việc giải phương trình (2.I) e rằng sẽ không đi đến kết quả ! Vậy phương pháp hệ số bất định thì sao? Chú ý đến hệ số tự do của phương trình ta thấy: Giải: , điều này dẫn tới ta nghĩ đến phân tích VT của phương trình về dạng: (mục đíc là làm giảm số ẩn cần tìm xuống còn 2 ẩn). Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình :

.

Vậy

(5) có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.

* (a) và (b) cùng có hai nghiệm phân biệt

* Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là , khi đó là nghiệm của hệ: , hệ này vô nghiệm và (b) không có nghiệm chung. Vậy là những giá trị cần tìm.

: Việc nhận thấy Nhận xét là mẫu chốt hạn chế khó khăn trong việc phân tích ra thừa số. Đây là một tính chất của đa thức rất hay được sử dụng trong việc phân tích một đa thức thành các nhân tử. Cụ thể : Nếu tam thức bậc hai (tương tự cho đa thức)

có hai nghiệm thì ta luôn có sự phân tích . Với phương trình trên ta không sử dụng được tính chất này vì vế trái là một đa thức bậc 4 không có nghiệm đặc biệt. Tuy nhiên nếu chúng ta nhạy bén thì ta thấy VT của phương trình lại là một tam thức bậc hai đối với ẩn là tham số m. Tức là ta có:

(5′)

Tam thức này có :

Suy ra (5′) có hai nghiệm

và . Do vậy ta có:

. Đây là phương trình mà ta vừa biến đổi ở trên.

Ví dụ 5: Giải phương trình : .

Đặt Giải: , ta có :

.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

.

: Giải phương trình : Ví dụ 6 .

Giải:

Ta có phương trình

.

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: .

Ví dụ 7 : Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Giải:

PT:

.

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.

(a) và (b) có hai nghiệm phân biệt .

Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là

.

Vậy là những giá trị cần tìm.

Nguyễn Tất Thu

Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng lớn lao và quan trọng. Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hoá, hiện đại hoá nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được nâng cao.

Trong giai đoạn hiện nay phải có một chiến lược giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học.

Trang Phần 1: Phần mở đầu 1 Phần 2: Nội dung 3 I Đại cương về phương trình 3 II Phương trình bậc cao 3 III Những kiến thức bổ trợ để giải phương trình bậc cao 3 1 Phương trình bậc nhất một ẩn 3 2 Phương trình bậc hai một ẩn 4 3 Phương trình tích 4 4 Các định lý 5 IV Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao 5 1 Phương pháp 1: Đưa về phương trình tíchh 5 2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 8 2.1 Phương trình trùng phương 8 2.2 Phương trình đối xứng bậc chẵn 9 2.3 Phương trình đối xứng bậc lẻ 10 2.4 Phương trình phản thương 11 2.5 Phương trình hồi quy 13 2.6 Phương trình có dạng (x+a)4 + (x+b)4 = c 14 2.7 Phương trình: (x+a) (x+b) (x+c) (x+d) = mx2 15 2.8 Phương trình dạng: d(x+a) (x+b) (x+c) = mx 16 2.9 Phương trình dạng: (x+a) (x+b) (x+c) (x+d) = m. Trong đó a+d=b+c 17 2.10 Phương trình tam thức 18 3 Phương pháp 3: Đưa hai vế về luỹ thừa cùng bậc 19 4 Phương pháp 4: Dùng bất đẳng thức 19 5 Phương pháp 5: Dùng tính chất về số nghiệm thực của phương trình 21 6 Một số phương pháp khác 22 V Kết luận 23 Phần III: Bài tập tự luyện 24 Tài liệu tham khảo 25 Phần 1: Phần mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng lớn lao và quan trọng. Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hoá, hiện đại hoá nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được nâng cao. Trong giai đoạn hiện nay phải có một chiến lược giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học. Vậy dạy toán ở trường phổ thông ngoài mục đích cung cấp tri thức toán cho con người, đặc biệt phải chú ý dạy cho con người biết phương pháp phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kiến thức. Trong quá trình giảng dạy chương trình Đại số lớp 8, lớp 9 bản thân tôi thấy giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó đối với các em học sinh. Việc giải phương trình bậc cao đối với các em học sinh Trung học cơ sở chỉ đòi hỏi ở mức độ đơn giản, chủ yếu là từ phương trình đặc biệt đưa về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Trong đề tài này tôi mạnh dạn đưa ra các phương pháp giải một số phương trình bậc cao đặc biệt để giúp các em học nâng cao kỹ năng và kiến thức giải phương trình. II. Nhiệm vụ nghiên cứu: Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn. Phương trình bậc cao: Phương trình tích, phương trình đối xứng bậc chẵn, phương trình đối xứng bậc lẻ, phương trình phản thương, phương trình hồi quy, phương trình trùng phương, phương trình tam thức và một số phương trình có dạng đặc biệt khác. III. Phương pháp nghiên cứu: – Điều tra, khảo sát, theo dõi, thực hành, vận dụng… – Nghiên cứu tài liệu, báo chí… IV. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá giỏi ở khối lớp 8-9 của trường THCS Cẩm Phú- Huyện Cẩm Thuỷ- Tỉnh Thanh Hoá. V. Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn giảng dạy ở phần: Giải các phương trình bậc cao trong trương trình toán ở THCS. Phần II. Nội dung I. Đại cương về phương trình: 1. Khái niệm về phương trình – nghiên cứu của phương trình: Giả sử A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến (x). Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x được gọi là ẩn số. Giá trị tìm được của ẩn số gọi là nghiệm của phương trình. Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình. 2. Điều kiện xác định của phương trình: Điều kiện xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa. Tập xác định viết tắt là: ĐKXĐ 3. Hai phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. II. Phương trình bậc cao: 1. Định nghĩa: Ta gọi phương trình Đại số bậc n (n 3) ẩn x trên trường số thực là các phương trình được đưa về dạng: anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0= 0 (1) Trong đó n N*; a1, a2 … an . 2. Phương pháp chung để giải phương trình bậc cao: Quy về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. III. Những kiến thức bổ trợ để giải phương trình bậc cao: 1. Phương trình bậc nhất một ẩn số: Dạng tổng quát ax+b = 0; trong đó a, b là các hằng số; a0. Nghiệm là x = -b/a * Nhận xét: Giải phương trình mx+n = 0, phương trình đã cho chưa chắc đã là phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trường hợp. + Nếu m 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -n/m + Nếu m= 0 thì phương trình có dạng 0x = n – Nếu n = 0 thì phương trình vô số nghiệm. – Nếu n 0 thì phương trình vô nghiệm. 2. Phương trình bậc hai một ẩn: * Dạng tổng quát: ax2 + bx+c = 0, trong đó a, b, c Cách giải: * Dùng công thức nghiệm: =b2 – 4ac ‘=b’2 – ac + <0, PT vô nghiệm + ‘ <0, PT vô nghiệm + = 0, PT có nghiệm kép + ‘ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =-b/2a x1 = x2 =-b’/a * Dùng định lý Vi-et Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = -b/a P = x1.x2 = c/a * Phân tích vế trái thành tích: 3. Phương trình tích: Phương trình tích là phương trình có dạng: F(x). G(x) … H(x) = 0 Cách giải: F(x). G(x) … H(x) = 0 4. Các định lý: Định lý 1: Trên trường số thực, mọi phương trình bậc n luôn phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai. Định lý 2: Nếu phương trình P(x) có nghiệm x=a thì P(x) = M(x)(x-a) Định lý 3: + Nếu phương trình P(x) = 0 có tổng các hệ số bằng 0 thì x=1 là một nghiệm của phương trình. + Nếu phương trình P(x) =0 có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x=-1 là nghiệm của phương trình. Định lý về bất đẳng thức: (1) Dấu “=” xẩy ra khi AB 0 (2) Dấu “=” xẩy ra khi AB 0 (3) Dấu “=” xẩy ra khi A 0 IV. Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao: 1. Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích. a. Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng. F(x). G(x) … H(x) = 0 (1) b. Cách giải: 2 F(x). G(x) … H(x) = 0 Để đưa phương trình (1) về dạng (2) ta có thể dùng các cách sau: * Cách 1: – Đặt nhân tử chung. – Dùng hằng đẳng thức – Nhóm nhiều hạng tử. – Thêm (bớt) các hạng tử. – Phương pháp hệ số bất định. – Phương pháp xét giá trị riêng. – Phương pháp đổi biến – Phối hợp nhiều phương pháp. Cách 2: Nhẩm nghiệm. Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) = M(x)(x-a) từ đó hạ bậc của phương trình. Hạ bậc phương trình có thể dùng các cách sau: + Chia đa thức P(x) cho (x-a) + Dùng lược đồ Hornơ để tìm các hệ số. c. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x7 – 27×4 = 0 (1.1) Giải: Phương trình (1.1) x4 (x3 – 27) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.1) là S={0;3} Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 + 4×3 + 3×2 + 2x – 1= 0 (1.2) Giải: Ta nhóm các hạng tử thích hợp ở vế trái tạo thành các bình phương đúng rồi sử dụng công thức A2 – B2 = (A-B).(A+B) để biến vế trái thành tích. x4 + 4×3 + 3×2 + 2x – 1= 0 (x2 + 2x)2 – (x-1)2 =0 PT vô nghiệm (x2 + x+ 1) (x2 +3x-1) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.2) là S= Ví dụ 3: Giải phương trình: x4 – 4×3 – 10×2 + 37x – 14 = 0 (1.3) Giải: Vế phải là một đa thức bậc 4, giả sử phân tích được thành hai nhân tử bậc hai x2 + pq+q và x2 + rx + s; Trong đó p, q, r, s là các số nguyên chưa xác định, khi đó: x4 – 4×3 – 10×2 + 37x – 14 = (x2 + pq + q) (x2 + rx + s) Khai triển, nhóm các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có hệ sau: Giải hệ phương trình này ta được p =-5; q=2; s= -7; r=1 do đó phương trình đã cho trở thành: (x2 – 5x + 2) (x2 + x -7) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.3) S= Ví dụ 4: Giải phương trình: x4 – x3 + 2×2 – x + 1 = 0 (1.4) Giải: Phương trình (1.4) (x2 + 1)2 – x(x2 + 1) = 0 (x2 + 1)2 (x2-x + 1) = 0 Cả hai thừa số ở phía trái đều dương nên tập nghiệm của phương trình (1.4) là S = Ví dụ 5: Giải phương trình: (x2 – 4)2 = 8x + 1 (1.5) Giải: Phương trình (1.5) (x2 – 4)2 + 16×2 = 16×2 + 8x 1 (x2 – 4)2 – (4x + 1)2 = 0 PT vô nghiệm (x2 + 4x + 5) (x2 – 4x + 3) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.5) là S{1;3} Ví dụ 6: Giải phương trình: 12×3 – 3×2 – 7x + 8 = 0 (1.6) Giải: Ta thấy x=-1 là nghiệm của phương trình (1.6) phương trình (1.6) (x+1) (12×2 – 15x+8) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.6) là S = 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp này được dùng với các dạng phương trình sau: 2.1. Phương trình trùng phương: a. Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a0) (2.1) b. Cách giải: + Bước 1: Đặt x2 = y (y0) Bước 2: Biện luận phương trình (2.2) qua các trường hợp của=b2-4ac x1 = (Không mất tính tổng quát ta giả sử y1 < y2). – Nếu y1 (2.1) vô nghiệm. – Nếu y1 (2.1) có một nghiệm x=0 – Nếu y1 (2.1) có hai nghiệm x1 = – Nếu 0=y1 (2.1) có 3 nghiệm x1 = 0; x2 = – Nếu 0 (2.1) có 4 nghiệm x1 = c. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x4 – 5×2 + 6 = 0 (2.1.1) Tập nghiệm của phương trình (2.1.1) là S= Ví dụ 2: Giải phương trình 2×4 + 7×2 + 3 = 0 (2.1.2) Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.2) 2y2 + 7y + 3 = 0 Phương trình (2.1.2) vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình (2.1.2) là: S = Ví dụ 3: Giải phương trình 3×4 5×2 – 2 = 0 (2.1.3) Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.3) 3y2 – 5y – 2= 0 Tập nghiệm của phương trình (2.1.3) là S= 2.2. Phương trình đối xứng bậc chẵn a. Định nghĩa: Phương trình đối xứng bậc chẵn là phương trình có dạng: a0x2n + a1x2n-1 + ….. an-1xn+1 + anxn + an+1xn-1 +…+ a1x+a0 = 0 (2.2) b. Cách giải: Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.2) thì ta chia cả hai vế của phương trình (2.2) cho x2 0 (2.2) a0x2n + a1x2n-1 + ….. an-1×1 + anx0 + an+1x-1 +…+ a1x-(n-1)+a0x-n = 0 a0(xn + x-n) + a1(xn-1 + x-(n-1)+…+an = 0 c. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2×4 + 3×3 – 16×2 + 3x + 2 = 0 (2.2.1) Giải: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (2.2.1), chia hai vế của phương trình (2.2.1) cho x2 rồi nhóm lại ta có: (2.2.1) 2(x2 + 1/x2) + 3(x+1/x) – 16 = 0 Đặt: y = x + 1/x ta được phương trình bậc hai. Tập nghiệm của phương trình (2.2.1) là: S= {2;1/2;-2+ ;-2- } Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 – 3×3 + 4×2 – 3x + 1 = 0 (2.2.2) Giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.2.2), chia 2 vế của phương trình (2.2.2) cho x2 rồi nhóm lại ta có: (2.2.2) (x2 + 1/x2) – 3(x+1/x)+4 = 0 Đặt x+1/x = y ta được phương trình bậc hai. y2 – 3y + 2 = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.2.2) là: S = {1} 2.3 Phương trình đối xứng bậc lẻ: a. Định nghĩa: Phương trình đối xứng bậc lẻ là phương trình có dạng. a0x2n+1 + a1x2n + ….. an+1xn+1 + anxn + an-1xn-1 +…+ a1x+a0 = 0 (2.3) b. Cách giải: Phương trình này luôn có nghiệm x=-1,. Do đó ta chia cả hai vế của phương trình (2.3) cho (x+1) ta được phương trình đối xứng bậc chẵn. c. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2×3 + 7×2 + 7x + 2 = 0 (2.3.1) Giải: Ta thấy x =-1 là một nghiệm của (2.3.1) Hạ bậc (2.3.1) (x+1) (2×2 + 5x+2) = 0 (x+1) (x+2+ (2x+1) = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.3.1) là S = {1;-2;-1/2} Ví dụ 2: Giải phương trình: x7-2×6+3×5 – x4 – x3 + 3×2 -2x +1 = 0(2.3.2) Giải: Ta thấy x=-1 là một nghiệm của phương trình (2.3.2) Dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc của phương trình. 1 -2 3 -1 -1 3 -2 1 -1 1 -3 6 -7 6 -3 1 0 (2.3.2) (x+1)(x6 – 3×5 + 6×4 – 7×3 + 6×2 – 3x + 1) = 0 Ta giải phương trình: (x6 – 3×5 + 6×4 – 7×3 + 6×2 – 3x + 1) = 0 (*) (Đây là phương trình đối xứng bậc chẵn) Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (*), ta chia cả 2 vế của (*) cho x3 0 ta được: x3 – 3×2 + 6x – 7 + 6/x – 3/x2 + 1/x3 = 0 (x3 + 1/x3) =3(x2 +1/x2) +6(x+1/x)-7=0 (**) Đặt: x+1/x = t phương trình (**) t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0 (t-1)3 = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.3.2) là: S = {-1} 2.4. Phương trình phản thương: a. Phương trình phản thương là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 (2.4) (Hoặc: ax4 -bx3 + cx2 – bx + a = 0 (2.4*) b. Cách giải: x= 0 không là nghiệm của (2.4), chia cả hai vế của (2.4) cho x2 ta có: (2.4) ax2 + bx+c – b/x + a/x2 = 0 a(x2 + 1/x2) + b(x-1/x) + c = 0 Đặt: x-1/x = y ta có phương trình: ay2 + by + c + 2a = 0 giải phương trình này ta được nghiệm y0, giải phương trình: x-1/x = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.4) Giải tương tự đối với phương trình (2.4*). c. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 – 7×3 + 8×2 + 7x+ 1 = 0 (2.4.1) Giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.4.1), chia cả hai vế của phương trình (2.4.1) cho x2 ta có: x2 – 7x + 8 + 7/x+ 1/x2 = 0 (x2 + 1/x2 )- 7(x – 1/x)+ 8 = 0 Đặt: x-1/x = y ta có phương trình: y2 – 7y + 10 = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.4.1) là: S= Ví dụ 2: Giải phương trình: 6×4 + 7×3 – 36×2 – 7x+ 6 = 0 (2.4.2) Giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.4.2), chia cả hai vế của phương trình (2.4.2) cho x2 ta có: 6×2 + 7x -36 – 7/x+ 6/x2 = 0 6(x2 + 1/x2 )+ 7(x – 1/x)-36 = 0 Đặt: x-1/x = y phương trình trở thành: 6(y2 +2)+ 7y -36 = 0 6y2 + 7y – 24 = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.4.2) là: S = {2; -1/2; 1/3; 3} 2.5. Phương trình hồi quy. a. Định nghĩa: Phương trình hồi quy là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 dx+ e = 0 (2.5) trong đó: e/a = (d/b)2 = t2 b. Cách giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5), chia cả hai vế của phương trình (2.5) cho x2 thì (2.5) ax2 + bx + c d/x+ e/x2 = 0 (ax2 + e/x2) + (bxd/x)+ c = 0 a(x2 + t2x-2) + b(xtx-1)+ c = 0 Đặt: xtx-1 = y khi đó (2.5*) ay2 + by+ c 2at = 0 giải phương trình này ta được nghiệm y0, giải xtx-1 = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.5) c. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 – 3×3 + 3x+1 = 0 (2.5.1) Giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5.1), chia cả hai vế của phương trình (2.5.1) cho x2 thì (2.5.1) x2 – 3x + +3/x +1/x2 = 0 (x2 + 1/x2) – 3 (x-1/x) = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.5.1) là: S= Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 + 3×3 – 14×2 – 6x + 4 = 0 (2.5.2) Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5.2) chia hai vế của phương trình (2.5.2) cho x2 0 ta được: x2 + 3x – 14 – 6/x + 4/x2 = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.5.2) là: S= 2.6. Phương trình có dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (2.6) a. Cách giải: Đặt y = x+ Khi đó: Phương trình (2.6) có dạng: ()4 + ()4 = c 2y4 + 12()2 y2 + 2()4 – c=0 Đây là phương trình trùng phương ta đã biết cách giải. b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (x+2)4 + (x+8)4 = 272 (2.6.1) (2.6.1) (y-3)4 + (y+3)4 = 272 2y4 + 108y2 + 162 = 272 2y4 + 108y2 – 110 = 0 y4 + 54y2 – 55 = 0 (2.6.1′) Đặt: y2 = z 0 phương trình (2.6.1′) có dạng: Tập nghiệm của phương trình (2.6.1) là: S{-4;-6} Ví dụ 2: Giải phương trình: (x-6)4 + (x-8)4 = 16 (2.6.2) 2y4 + 12y2 + 2 = 16 y4 + 6y2 – 7 = 0 2.7. Phương trình: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 (2.7) trong đó ad =bc a. Cách giải: Ta nhóm: [(x+a) (x+d)][ (x+b) (x+c)] = mx2 [x2 + (a+d)x + ad] x2 + [(b+c)x + bc] = mx2 (2.7.1′) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.7.1′), chia cả hai vế của phương trình (2.7.1′) cho x2. (2.7.1′) [x + (a+d) + ad x-1] x + (b+c) + bc x-1] = m Đặt: y = x+ad x-1 ta có phương trình: [y+(a+d] [y+(b+c)] = m (2.7.1”) Giải phương trình (2.7.1”) ta được nghiệm y0. Giải phương trình x+ad x-1 = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.7) b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+2)(x+3)(x+8)(x+12) = 4×2 (2.7.1) Giải: (2.7.1) [((x+2) (x+12)][ (x+3) (x+8)] = 4×2 (x2 + 14x+24) (x2 + 11x+ 24)= 4×2 Phương trình này không có nghiệm x = 0 , chia cả hai vế của phương trình x2 0 ta được phương trình: Tập nghiệm của phương trình (2.7.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình: (x+1) (x-4) (x+3) (x-12) = -2×2 (2.7.2) Giải: (2.7.2) [(x+1) (x-12)] [(x-4) (x+3)] = -2×2 (x2 – 11x – 12) (x2 – x – 12) = -2×2 phương trình không có nghiệm x=0, chia cả hai vế của phương trình cho x2 0 ta được: (x – 11 – 12/x) ( x-1 – 12/x) = -2 Đặt: x-12/x = y phương trình trở thành. (y-11) (y-1) = -2 y2 – 12y + 13 = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.7.2) là: S= 2.8. Phương trình dạng: d(x+a)(x+b)(x+c) = mx (2.8) trong đó d=; m=(d-a)(d-b) (d-c) b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (x-2)(x-3)(x+7) = -72x (2.8.1) (y-3)(y-4)(y+6) = -72(y-1) y3 – y2 + 42y = 0 y(y2- y + 42) = 0 Phương trình vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình (2.8.1) là: S={-1} Ví dụ 2: Giải phương trình: 8(x+2)(x+5)(x+9) = -18x (2.8.2) 8 (y-6) (y-3)(y+1) = -18 (y-8) 4y3 – 32y2 + 45y = 0 y(4y2 – 32y + 45) = 0. Giải phương trình này ta được: y1 = 0; y2 = Tập nghiệm của phương trình: (2.8.2) là: S = 2.9. Phương trình có dạng: (x+a) (x+b) ( x+ c) (x+d) = m (2.9) trong đó: a+d= b +c a. Cách giải: Ta nhóm [(x+a) (x+d) ] [(x+b) (x+c)] = m (2.9.1′) Đặt: y = (x+a) (x+d) thay vào phương trình (2.9.1′) ta tìm được y0. Giải phương trình (x+a) (x+d) = y0 ta có x0 là nghiệm của phương trình (2.9.1′) b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+5) (x+6) (x+8) (x+9) = 40 (2.9.1) Giải: (2.9.1) [(x+5) (x+9)] [(x+6) (x+8) ] = 40 (x2 + 14x + 45) (x2 + 14x + 48) = 40 Đặt: x2 + 14x + 45 = y phương trình có dạng: y(y+3) = 40 Tập nghiệm của phương trình: (2.9.1) là: S = {-4; -10} Ví dụ 2: Giải phương trình: (x-1) (x+7) (x2 + 2x – 15) = 297 (2.9.2) Giải: (2.9.2) (x-1) (x+7) (x-3) (x+5) = 297 [(x-1) (x+5) [(x+7) (x-3)] = 297 (x2 + 4x – 5) (x2 + 4x – 21) = 297 Đặt x2 + 4x – 5 = y phương trình có dạng: y(y-16) = 297 Tập nghiệm của phương trình (2.9.2) là: S = {-8;4} 2.10. Phương trình tam thức: a. Định nghĩa: Phương trình tam thức là phương trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 (a0) (2.10) Trong đó: a,b,c là các số thức, n nguyên dương, n2. Nếu a,b,c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì (2.10) là phương trình trùng phương. b. Cách giải: Đặt xn = y (2.10) Giải; (**) ta tìm được y0 thay vào (*) ta tìm được x0 là nghiệm của (2.10). c. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x6 – 7×3 + 6 = 0 (2.10.1) Tập nghiệm của phương trình (2.10.1) là: S = {1; } Ví dụ 2: Giải phương trình: x10 + x5 – 6 = 0 (2.10.2) Tập nghiệm của phương trình (2.10.2) là: S = {; } 3. Phương pháp 3: Đưa hai vế về luỹ thừa cùng bậc. a. Cơ sở lý luận: Thêm bớt vào hai vế của phương trình đi cùng một biểu thức (hay 1 số) để đưa 2 vế của phương trình trở thành 2 luỹ thừa cùng bậc. Phương trình: An = Bn (3.1) + Nếu n là số chẵn thì A = B (3.2) + Nếu n là số lẻ thì A = B (3.3) Giải phương trình (3.2) và (3.3) ta tìm được nghiệm của phương trình (3.1) b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 = 24x + 32 (3.1.1) Giải: Cộng 4×2 + 4 vào hai vế của phương trình (3.1.1) ta có: x4 +4×2 + 4 = 4×2 + 24x + 36 (x2 + 2) 2 = (2x+ 6)2 phương trình vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình (3.1.1) là: S = { ; } Ví dụ 2: Giải phương trình: (x2 – 9)2 = 12x +1 (3.1.2) Giải: Cộng 36×2 vào hai vế của phương trình thì (3.1.2) (x2 – 9)2 + 36×2 = 36×2 + 12x + 1 (x2 + 9)2 = (6x + 1)2 phương trình vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình (3.1.2) là: S = {2;4} 4. Phương pháp 4: Dùng bất đẳng thức a. Cơ sở lý luận: * Dùng tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng: Đưa phương trình đã cho về dạng f(x) = g(x) (1*) + Nếu f(x) tăng trên [a,b] g(x) giảm trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất của (1*) f(x0) = g(x0) + Nếu f(x) giảm trên [a,b] g(x) tăng trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất của (1*) f(x0) = g(x0) * Dùng các bất đẳng thức. dấu “=” xẩy ra khi AB 0 dấu “=” xẩy ra khi AB 0 dấu “=” xẩy ra khi A 0 b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (4.1) Giải: áp dụng hằng bất đẳng thức dấu “=” xẩy ra khi AB 0 Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi: x(1-x) 0 0x1 Tập nghiệm của phương trình (4.1) là: S = {x/0x1} Ví dụ 2: Giải phương trình (4.2) Giải: Viết phương trình (4.2) dưới dạng: Dễ thấyx =8; x =9 đều là nghiệm của(4.2).Xét các giá trị còn lại của x. Với x<8 thì còn Với 8<x<9 thì 0 = x – 8 0 Kết luận:Tập nghiệm của phương trình (4.2) là: S = {8;9} 5. Phương pháp 5: Dùng tính chất về số nghiệm thực của phương trình a. Cơ sở lý luận: Người ta chứng minh được rằng phương trình đại số bậc n có không quá n nghiệm thực. Do đó nếu ta chỉ ra được n nghiệm của một phương trình đại số bậc n thì đó là tất cả các nghiệm của phương trình đó. Ví dụ: Giải phương trình với a là tham số: (a2 – a)2 (x2 – x+1)3 = (x2 – x)2 (a2 – a + 1)3 (5.1) Giải: Với a = 0 hoặc a = 1 thì (5.1) có hai nghiệm: 0 và 1 Xét a 0, a 1. Khi đó x 0 (Vì nếu x = 0 thì a = 0 hoặc a = 1). Gọi m là nghiệm của (5.1). Chia hai vế của (5.1.1’) cho m2 ta có: (a2 – a)2 (1-1/m+1/m2)3 = (1/m – 1/m2)2 (a2 – a + 1)3 (a2 – a)2 (1/m2 – 1/m + 1)3 = (1/m2 – 1/m)2 (a2 – a + 1)3. Điều này chứng tỏ rằng 1/m cũng là nghiệm của (5.1). Ta dễ dàng chứng minh được 1- m cũng là nghiệm của (5.1). Vậy a là một nghiệm của (5.1) theo trên thì 1/a và 1-a cũng là nghiệm của (5.1). Do 1/a là nghiệm của (5.1) nên 1-1/a cũng là nghiệm của (5.1). Do 1-a là nghi

File đính kèm:

Phương trình bậc cao.doc