Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng : (left{begin{matrix} ax+by=c a’x+b’y=c’ end{matrix}right.)
Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Định nghĩa hệ phương trình hai ẩn?
((d)parallel (d’)) thì hệ vô nghiệm
((d)times (d’)) thì hệ có nghiệm duy nhất
((d)equiv (d’)) thì hệ có vô số nghiệm
Hệ phương trình tương đương
Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ
Gọi (d): ax + by = c; (d’): a’x + b’y = c’. Khi đó ta có
Phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn bậc nhấtVí dụ 1: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} x – y = 3 3x – 4y = 4 end{matrix}right.)
(left{begin{matrix} x – y = 3 3x – 4y = 4 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = y + 3 3(y+3) – 4y = 4 end{matrix}right.)
Nhân cả hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 ( phương trình một ẩn)
Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
(Leftrightarrow left{begin{matrix} x = y + 3 3y + 9 – 4y = 4 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = y + 3 y = 5 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 8 y = 5 end{matrix}right.)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (8;5)
Ví dụ 2: Giải phương trình: (left{begin{matrix} x – 5y = 19, (1) 3x + 2y = 6, (2) end{matrix}right.)
Nhân cả 2 vế của phương trình (1) với 3 ta được: (left{begin{matrix} 3x – 15y = 57 3x + 2y = 6 end{matrix}right.)
Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có: (-17y = 51 Rightarrow y=-3)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (left{begin{matrix} x = 4 y = -3 end{matrix}right.)
Một số dạng hệ phương trình đặc biệtHệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi.
Đặt (S = x + y; P = xy, (S^2geq 4P))
Giải hệ để tìm S và P
Với mỗi cặp (S;P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình (t^2 – St + P = 0)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} x + y + 2xy = 2 x^3 + y^3 = 8 end{matrix}right.)
Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó phương trình trở thành:
(left{begin{matrix} S + 2P = 2 S(S^2-3P) = 8 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} P= frac{2 – S}{2} S(S^2-frac{6-3S}{2})=8 end{matrix}right.)
(Rightarrow 2S^3 + 3S^2 – 6S -16 = 0 Leftrightarrow (S-2)(2S^2+7S+8)=0 Leftrightarrow S = 2 Rightarrow P=0)
Hệ hai phương trình x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình bày trở thành phương trình kia và ngược lại
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn.
Giải phương trình một ẩn vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình (t^2-2t=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} t = 0 t = 2 end{array}right.)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (0;2) hoặc (2;0)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} x^2 = 3x + 2y y^2 = 3y + 2x end{matrix}right.)
Trừ vế với vế của hai phương trình của hệ, ta được:
(x^2 – y^2 = x-y Leftrightarrow (x-y)(x+y-1) = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=y x=1-y end{array}right.)
Với (x=y Rightarrow x^2 = 3x Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=0 x=3 end{array}right.)
Với (x=1-y Rightarrow y^2 = 3y + 2(1-y) Leftrightarrow y^2 -y -2 = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} y=-1 Rightarrow x=0 y= 2 Rightarrow x=-1 end{array}right.)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = (0;0), (3;3), (-1;2), (2;-1)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: (left{begin{matrix} f(x;y) = a g(x;y) = b end{matrix}right.)
Trong đó f(x;y) và g(x;y) là phương trình đẳng cấp bậc hai, với a và b là hằng số.
Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
Nếu x = 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình ta khử x rồi giải hệ tìm t
Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} 2x^2 + 3xy + y^2 = 15, (1) x^2 + xy + 2y^2 = 8, (2) end{matrix}right.)
Khử số hạng tự do từ hệ ta được: (x^2 + 9xy – 22y^2 = 0, (3))
Đặt x = ty, khi đó ((3) Leftrightarrow y^2(t^2+9t-22) = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} y=0 t=2 t=-11 end{array}right.)
Với y = 0, hệ có dạng: (left{begin{matrix} 2x^2 = 15 x^2 = 8 end{matrix}right.) vô nghiệm
Với t = 2, ta được x = 2y ((2) Leftrightarrow y^2 = 1 Leftrightarrow left[begin{array}{l} y_{1} = 1 y_{2} = -1 end{array}right. Rightarrow left[begin{array}{l} left{begin{matrix} x_{1} = 2 y_{1} = 1 end{matrix}right. left{begin{matrix} x_{2} = -2 y_{2} = -1 end{matrix}right. end{array}right.)
Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ
Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm.
Tác giả: Việt Phương