Chứng Minh Bất Đẳng Thức Cauchy

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz còn gọi là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz (BĐT CBS – viết tắt của tên 3 nhà toán học này; ở Việt Nam nhiều người quen dùng với cái tên Bunhiacopxki) được dùng nhiều trong toán học sơ cấp. Với tư cách là hai hòn đá tảng để nhiều kết luận quan trọng khác của toán học dựa vào, cặp bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz được sử dụng khá phổ biến ở phần lớn các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ngoài ra một số hệ quả của cặp bất đẳng thức này có thể vận dụng để giải hàng loạt các bài toán thú vị về cực đại và cực tiểu.

Bất đẳng thức CBS (Cauchy – Bunyakovsky – Schwartz) Chứng minh bất đẳng thức CBS

Hiện nay bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cũng có khá nhiều cách chứng khác nhau, tất cả các cách chứng minh đó đều ngắn gọn đặc sắc, xin giới thiệu một cách chứng minh trong số những cách chứng minh đã có như sau.

Hệ quả của bất đẳng thức CBS

Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy ra hai hệ quả để sử dụng trong bài viết này:

Làm chặt bất đẳng thức CBS

Bây giờ ta sử dụng 2 hệ quả trên để làm chặt bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo Ngô Văn Thái (Epsilon). Người đăng: Sơn Phan.

còn gọi là bất đẳng thức(BĐT CBS – viết tắt của tên 3 nhà toán học này; ở Việt Nam nhiều người quen dùng với cái tên) được dùng nhiều trong toán học sơ cấp. Với tư cách là hai hòn đá tảng để nhiều kết luận quan trọng khác của toán học dựa vào, cặp bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz được sử dụng khá phổ biến ở phần lớn các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ngoài ra một số hệ quả của cặp bất đẳng thức này có thể vận dụng để giải hàng loạt các bài toán thú vị về cực đại và cực tiểu.Hiện nay bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cũng có khá nhiều cách chứng khác nhau, tất cả các cách chứng minh đó đều ngắn gọn đặc sắc, xin giới thiệu một cách chứng minh trong số những cách chứng minh đã có như sau.Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy ra hai hệ quả để sử dụng trong bài viết này:Bây giờ ta sử dụng 2 hệ quả trên để làm chặt bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cauchy Chứng Minh Bất Đẳng Thức

A. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Kỹ thuật tách các cặp đối xứng

Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”. Đánh giá từ tổng sang tích.

Bài 1. Chứng minh rằng: $left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} right)ge 8{{a}^{text{2}}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}text{   }forall a,b,c$

Giải

Sai lầm thường gặp

Sử dụng: ” x, y thì x2 – 2xy + y2  = ( x- y)2 ≥ 0 Û x2 + y2  ≥ 2xy.  Do đó:

$left{ begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge 2ab \ & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}ge 2bc \ & {{c}^{2}}+{{a}^{2}}ge 2ca \ end{align}right.$.

$Rightarrow left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)left({{c}^{2}}+{{a}^{2}} right)ge 8{{a}^{text{2}}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}text{   }forall a,b,c$  (Sai)

Ví dụ:

$left{ begin{align} & 2ge -2 \ & 3ge -5 \ & 4ge text{ }3 \ end{align} right.$

24 =  2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30  ( Sai )

Lời giải đúng

Sử dụng BĐT Cô Si:  x2 + y2  ≥ 2$sqrt{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}$ ta có:

$left{ begin{align} end{align} right.$.

$Rightarrow left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}} right)ge }=8{{a}^{text{2}}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}text{ }forall a,b,c$.(Đúng)

Bình luận

Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.

Cần vì x, y không biết âm hay dương.

Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si.

Trong TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số.

Bài 2. Chứng minh rằng: ${{left( sqrt{a}+sqrt{b} right)}^{8}}ge 64ab{{(a+b)}^{2}}$  ” a,b ≥ 0

Giải

$begin{align} & {{left( sqrt{a}+sqrt{b} right)}^{8}} \ & ={{left[ {{left( sqrt{a}+sqrt{b} right)}^{2}} right]}^{4}} \ & ={{left[ left( a+b right)+2sqrt{ab} right]}^{4}}text{ }overset{Ctext{ }!!hat{mathrm{o}}!!text{ Si}}{mathop{ge }},text{ }{{left[ 2sqrt{2left( a+b right)sqrt{ab}} right]}^{4}} \ & ={{2}^{4}}{{.2}^{2}}.ab.{{left( a+b right)}^{2}}= \ end{align}$ $=64ab{{(a+b)}^{2}}$

Bài 3. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  ” a, b ≥ 0.

Giải

Ta có:  (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ $3sqrt[3]{1.a.b}.text{  }3.sqrt[3]{a.b.ab}=9ab$

9 = 3.3 gợi ý sử dụng Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó.

Bài 4. Chứng minh rằng:  3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 ” a, b ≥ 0

Giải

Ta có: 3a3 + 7b3 ≥  3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 $overset{Chat{o}si}{mathop{ge }},text{  }3sqrt[3]{{{3}^{3}}{{a}^{3}}{{b}^{3}}}$= 9ab2

9ab2 hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn.

Ba bài toán tổng quát Bài toán tổng quát 1

Cho: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{rm{ }}{x_2},{rm{ }}{x_3},………….,{x_n} ge 0}\ {frac{1}{{1 + {x_1}}} + frac{1}{{1 + {x_2}}} + frac{1}{{1 + {x_3}}} + ……… + frac{1}{{1 + {x_n}}} ge n – 1} end{array}} right.$

$CMR:{rm{ }}{x_1}{x_2}{x_3}………..{x_n} le frac{1}{{{{left( {n – 1} right)}^n}}}$

Ví dụ minh họa.  

Cho: $left{ begin{align} & frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}+frac{1}{1+c}+frac{1}{1+d}ge 3 \ end{align} right.text{ }CMR:text{ }abcdtext{ }le frac{1}{81}$

Giải

Từ giả thiết suy ra:

$frac{1}{1+a}ge left( 1text{ -}frac{1}{1+b} right)+left( 1-frac{1}{1+c} right)+left( 1-frac{1}{1+d} right)text{= }frac{b}{1+b}+frac{c}{1+c}+frac{d}{1+d}text{ }overset{Ctext{ }!!hat{mathrm{o}}!!text{ si}}{mathop{ge }},text{ }3text{ }sqrt[3]{frac{bcd}{left( 1+b right)left( 1+c right)left( 1+d right)}}$

$begin{array}{l} frac{1}{{1 + a}} ge 3{rm{ }}sqrt[3]{{frac{{bcd}}{{left( {1 + b} right)left( {1 + c} right)left( {1 + d} right)}}}} ge 0\ frac{1}{{1 + b}} ge 3{rm{ }}sqrt[3]{{frac{{cda}}{{left( {1 + c} right)left( {1 + d} right)left( {1 + a} right)}}}} ge 0\ frac{1}{{1 + c}} ge 3{rm{ }}sqrt[3]{{frac{{dca}}{{left( {1 + d} right)left( {1 + c} right)left( {1 + a} right)}}}} ge 0\ frac{1}{{1 + d}} ge 3{rm{ }}sqrt[3]{{frac{{abc}}{{left( {1 + a} right)left( {1 + b} right)left( {1 + c} right)}}}} ge 0\ Rightarrow frac{1}{{left( {1 + a} right)left( {1 + b} right)left( {1 + c} right)left( {1 + d} right)}} ge 81frac{{abc{rm{d}}}}{{left( {1 + a} right)left( {1 + b} right)left( {1 + c} right)left( {1 + d} right)}} end{array}$

$ Rightarrow abcd{rm{ }} le frac{1}{{81}}$

Bài toán tổng quát 2

Cho: $left{ begin{align} & {{x}_{1}}+text{ }{{x}_{2}}+text{ }{{x}_{3}}+……..+{{x}_{n}}=1 \ end{align} right.text{ }CMR:text{ }left( frac{1}{{{x}_{1}}}-1 right)left( frac{1}{{{x}_{2}}}-1 right)left( frac{1}{{{x}_{3}}}-1 right)……..left( frac{1}{{{x}_{n}}}-1 right)ge {{left( n-1 right)}^{text{n}}}text{ }$ • Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biến thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn

Ví dụ minh họa.

Cho $left{ begin{align} & a+b+c=1 \ end{align} right.text{ }CMR:text{ }left( frac{1}{a}-1 right)left( frac{1}{b}-1 right)left( frac{1}{c}-1 right)ge 8$ (1) Giải

$VT(1)=frac{1-a}{a}.frac{1-b}{b}.frac{1-c}{c}=frac{b+c}{a}.frac{c+a}{b}.frac{a+b}{c}text{ }overset{Ctext{ }!!hat{mathrm{o}}!!text{ si}}{mathop{ge }},text{ }frac{2sqrt{bc}}{a}.frac{2sqrt{ca}}{b}.frac{2sqrt{ab}}{c}=8$ (đpcm)

Bài toán tổng quát 3

Cho x1, x2, x3,……., xn ≥ 0. CMR: ${{left( 1+frac{{{x}_{1}}+text{ }{{x}_{2}}+….+{{x}_{n}}}{n} right)}^{n}}overset{left( 1 right)}{mathop{ge }},left( 1+{{x}_{1}} right)left( 1+{{x}_{2}} right)……left( 1+{{x}_{n}} right)overset{left( 2 right)}{mathop{ge }},{{left( 1+sqrt[n]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}…..{{x}_{n}}} right)}^{n}}overset{left( 3 right)}{mathop{ge }},{{2}^{n}}sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}……{{x}_{n}}}$

• Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tam giác sau này. • Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tình đồng bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai.

Ví dụ minh họa.

CMR: ${{left( 1+frac{a+b+c}{3} right)}^{3}}overset{left( 1 right)}{mathop{ge }},left( 1+a right)left( 1+b right)left( 1+c right)overset{left( 2 right)}{mathop{ge }},{{left( 1+sqrt[3]{abc} right)}^{3}}overset{left( 3 right)}{mathop{ge }},8sqrt{abc}text{ }forall a,b,cge 0$

Giải

Ta có: ${{left( 1+frac{a+b+c}{3} right)}^{3}}={{left( frac{left( 1+a right)+left( 1+b right)+left( 1+c right)}{3} right)}^{3}}text{ }overset{Ctext{ }!!hat{mathrm{o}}!!text{ si}}{mathop{ge }},text{ }left( 1+a right)left( 1+b right)left( 1+c right)$ (1)

Ta có: $left( 1+a right)left( 1+b right)left( 1+c right)=left[ 1+left( ab+bc+ca right)+left( a+b+c right)+abc right]$ $text{ }overset{Ctext{ }!!hat{mathrm{o}}!!text{ si}}{mathop{ge }},text{ }left( 1+3sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+3sqrt[3]{abc}+abc right)={{left( 1+sqrt[3]{abc} right)}^{3}}$ (2)

Ta có: ${{left( 1+sqrt[3]{abc} right)}^{3}}text{ }overset{Ctext{ }!!hat{mathrm{o}}!!text{ si}}{mathop{ge }},text{ }{{left( text{2}sqrt{1.sqrt[3]{abc}} right)}^{text{3}}}=8sqrt{abc}$ (3)

————-

Đề Tài Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức Cauchy (Côsi)

MỤC LỤC GIỚI THIỆU CHUNG TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 03 BẢNG KÊ CÁC KÍ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI .................. A. Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài .................................................................. .. . 04 2. Mục đích nghiên cứu... 05 3. Đối tượng nghiên cứu................ 05 4. Nhiệm vụ nghiên cứu.............. 05 5. Giới hạn đề tài............................................................................................. 05 6. Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 06 7. Thời gian nghiên cứu........................................................................ ..06 B. Phần nội dung CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(CÔSI) I. CÁC QUY TẮC CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1.1. Quy tắc song hành .7 1.2. Quy tắc dấu bằng 7 1.3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng 7 1.4. Quy tắc biên 7 1.5. Quy tắc đối xứng 7 II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) 2.1. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ) ..7 2.2. Dạng tổng quát (n số) ............................................................................9 III. CÁC KỸ THUẬT ÁP DỤNG 3.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân..........................10 3.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo.....................................................................14 3.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi.........................................................................16 3.4. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng...........21 3.5. Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá từ TBN sang TBC.....23 3.6. Kỹ thuật ghép đối xứng.......................................................................26 3.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số , n số.....................................29 3.8. Kỹ thuật đổi biến số..............................................................................30 3.9. Một số bài tập vận dụng.......................................................................32 IV. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 4.1. Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình...34 4.2. Một số bài tập tượng tư vận dụng ......................................................37 C. Phần kết luận........................................................................................ ....... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản giáo dục. G.KORN-T.KORN. Sổ tay Toán học ( Phan Văn Hạp và Nguyễn Trọng Bá dịch ). Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp giáo dục -1997. Phan Huy Khải. Tuyển tập các bài toán Bất Đẳng Thức – Tập 1. Nhà xuất bản giáo dục -1996. Trần Văn Hạo (Chủ biên ) . Bất đẳng thức Cau chy. Nhà xuất bản giáo dục – 2001 Trần Phương ( Chủ biên) .15 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Nhà xuất bản giáo dục – 2001 Nguyễn Vũ Thanh. Phương pháp giải bất đẳng thức- Nhà xuất bản tổng hợp đồng tháp –1994 Vũ Đình Hòa. TSKH. Bất đẳng thức hình học. Nhà xuất bản giáo dục – 2001 Lê Hồng Đức. Phương pháp giải toán bất đẳng thức. Nhà xuất bản Hà Nội– 2003 Trần Văn Hạo.( Chủ biên). Chuyên đề Bất đẳng thức. Nhà xuất bản giáo dục. TS. Trần Vui.(Chủ biên). Một số xu hướng đổi mới trong dạy học Toán ở trường THPT. Nhà xuất bản giáo dục. BẢNG KÊ CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC TỪ VIẾT TẮT " : với mọi Min : giá trị nhỏ nhất Max : giá trị lớn nhát Û : tương đương Þ : suy ra ( kéo theo) D ABC : tam giác ABC ≠ : dấu khác ≥ : không âm = : dấu bằng p : nữa chu vi tam giác ABC CMR : chứng minh rằng VT : vế trái VP : vế phải BĐT : bất đẳng thức đpcm : điều phải chứng minh GTNN : giá trị nhỏ nhât GTLN : giá trị lớn nhất TBN : trung bình nhân TBC : trung bình cộng A. PHẦN MỞ ĐẦU 1 / Lí do chọn đề tài: Về mặt lý luận Trí thông minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như : quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Chính vì vậy, nghị quyết của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí thông minh cho học sinh cấp III nhất là học sinh lớp 10. Nghị quyết đã chỉ ra rất rõ yêu cầu “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”. Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. Chính vì vậy, ở lớp 10, việc phát triển trí thông minh cho các em thông qua môn toán là hết sức cần thiết. Về mặt thực tiễn Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán là khoa hoc suy diễn trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác toán học còn có tính thực triễn. Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống. Mỗi mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học toán học ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán. Về cá nhân Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường , tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kĩ năng mới trong Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) , vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài này. Mục đích nghiên cứu: Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lúng túng đó là những bài toán về bất đẳng thức đại số như bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev, bất đẳng thức Beruoulli, bất đẳng thức Jensen . Thông thường những bài toán về loại này là những vấn đề khó. Thực sự nó là một phần quan trọng của đại số và những kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Côsi) là một phần quan trọng của đại số 10 trong chương Toán THPT. Phần nhiều những bài toán tối ưu đại số xuất phát từ yêu cầu của cuộc sống. Một phần nào những kiến thức về tối ưu đại số này cũng được đưa vào chương trình phổ thông đó là bất đẳng thức Cauchy(Côsi). Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề về Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Côsi .Những bài toán về Bất đẳng thức Côsi có nội dung rất hấp dẫn và khó giải quyết. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết của nó là vì phương pháp tiếp cận , mổ xẻ vấn đề không phải là các phương pháp thông thường hay hay được áp dụng trong đại số. Để giải quyết phần nào những khó khăn trên, tác giả viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp những phương pháp học và giải bài tập bất đẳng thức Cauchy cho các bạn yêu thích toán học, các thầy cô giáo, các em học sinh các trường THPT và các em học sinh đang học lớp 10 làm tài liệu tham khảo và tiếp tục phát triển. Giới hạn của đề tài Nghiên cứu về bất đẳng thức Cauchy (Côsi) đặc biệt là các phương pháp chứng minh và bài tập vận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc sống . Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”. Phương pháp quan sát Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinh của trường trong năm học vừa qua.. Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay. B. PHẦN NỘI DUNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) I. CÁC QUY TẮC CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1.1. Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giiải nhanh hơn. 1.2. Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. 1.3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chu ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến. 1.4. Quy tắc biên: Cở sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. 1.5. Quy tắc đối xứng: Các BĐT thường có tính chất đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biên đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.. Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh : đánh giá từ Trung bình cộng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) và ngược lại. II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) : 2.1. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ) n = 2: " x, y 0 khi đó : n = 3: " x, y, z 0 khi đó : 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Chứng minh công thức 2.2.1 " x, y 0 ,ta có : Do đó . Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi : , tức là x = y . Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Chứng minh: Giả sử hai số dương x và y có tổng x + y = S không đổi. Khi đó, nên . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Do đó, tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi x = y. Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Chứng minh: Giả sử hai số dương x và y có tích x.y = P không đổi. Khi đó, nên . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi x = y. ỨNG DỤNG: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất . Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhỏ nhất. Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu x, y, z là ba số dương thì Khi nào xảy ra đẳng thức ? Giải. Vì x, y, z là ba số dương nên ( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ) ( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ). Do đó Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 2.2. Dạng tổng quát (n số) "x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có: Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3: Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: Để học sinh dễ nhớ, ta nói Trung bình cộng (TBC) Trung bình nhân (TBN). Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẽ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận dạng khi sử dụng BĐT Côsi : (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi không có cả căn thức. Hệ quả 3: Nếu: thì: Khi Hệ quả 4: Nếu: thì: Khi III. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Cauchy (Côsi ) 3.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “”.Đánh giá từ tổng sang tích. Bài 1. Chứng minh rằng: Giải Sai lầm thường gặp Sử dụng: " x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 0 Û x2 + y2 2xy. Do đó: Þ (Sai) Ví dụ: Þ 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) Lời giải đúng: Þ(đúng) Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không không âm. Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi. Trong bài toán trên dấu “ ” Þ đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số. Bài 2. Chứng minh rằng: " a,b 0 Giải Bài 3. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) 9ab " a, b 0. Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) . 9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó. Bài 4. Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 9ab2 " a, b 0 Giải Ta có: 3a3 + 7b3 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 = 9ab2 9ab2 = 9.a.b.b Þ gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn. Bài 5. Cho: Giải Từ giả thuyết suy ra: Vậy: Þ Bài toán tổng quát 1: Cho: Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biến thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn. Bài 6. Cho (1) Giải (đpcm) Bài toán tổng quát 2: Cho: Bài.7. CMR: Giải Ta có: (1) Ta có: (2) Ta có: (3) Dấu “ = ” (1) xảy ra Û 1+a = 1+b = 1+c Û a = b = c Dấu “ = ” (2) xảy ra Û ab = bc = ca và a = b = c Û a = b= c Dấu “ = ” (3) xảy ra Û =1 Û abc = 1 Bài toán tổng quát 3 Cho x1, x2, x3,..., xn 0. CMR: Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tam giác sau này. Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tính đồng bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai. Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo. 3.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo: Bài 1. CMR: Giải Ta có : Bài 2. CMR: Giải Ta có : Dấu “ = ” xảy ra Û Bài 3. CMR: Giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau : Dấu “ = ” xảy ra Û Û a = 2 và b = 1. Bài 4. CMR: (1) Giải Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho các thừa số dưới mẫu . Tuy nhiên dưới mẫu có dạng(thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b, thừa số thứ hai là một tam thức bậc hai của b) do đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu. Vậy ta có : = (a - b)( b + 1)( b + 1) Þ ta phân tích a thành hai cách sau: 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoÆc a +1 = Từ đó ta có (1) tương đương : VT + 1 = Þ đpcm. Bài 5. CMR : Giải Nhận xét : dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc xử lí với một biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng là một mặt mạnh của BĐT Côsi. Do đó : Ta có đánh giá về mẫu số như sau: Vậy: Dấu “ = ” xảy ra Û Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kĩ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b. Đối với phân thức thì việc đánh giá mẫu số, hoặc tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phu thuộc vào dấu của BĐT. 3.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến. Bài 1. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của Giải Sai lầm thường gặp của học sinh: 2=2 Dấu “ = ” xảy ra Û Û a = 1 Þ vô lí vì giả thiết là a 2. Cách làm đúng Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau: Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): ( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm) Þ Þ a = 4. Vậy ta có : . Dấu “ = ” xảy ra Û a = 2. Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra a = 4. ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số và đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có điểm rơi a = 2. Bài 2. Cho a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải Sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2 Þ Þ Þ a = 8. Sai lầm thường gặp Þ MinS = Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 vàà MinS = là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a 2 thì đánh giá sai. Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số. Lời giải đúng: Với a = 2 thì Min S = Bài 3. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải Sai lầm thường gặp: Þ Min S = 6 Nguyên nhân sai lầm : Min S = 6 Û trái với gải thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi Sơ đồ điểm rơi: Þ Þ Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau : Þ Þ Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 sau: . Với thì MinS = Bài 4. Cho. Tìm GTNN của Giải Sai lầm thường gặp: Þ MinS = . Nguyên nhân sai lầm: MinS = Û (trái với giả thiết). Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi Lời giải . Dấu “ = ” xảy ra khi Þ Min S = Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh. Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đăng thức Bunnhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn, đẹp hơn. Trong bài toán trên chúng ta đã dùng mọt kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC , chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm ở mẫu số hay ở tử số. Giải Sai lầm thường gặp Þ S 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Sai lầm thường gặp Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 8 số: Nguyên nhân sai lầm: Min S = 8 Û Þ a + b + c + d = 3(a + b + c + d) Þ 1 = 3 Þ vô lí. Phân tích và tìm tòi lời giải Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có : 3.4. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu , đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC là thay dấu a.b bằng dấu a + b . Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số. Bài 1. CMR (1) Giải (1) Û Theo BĐT Côsi ta có: (đpcm) Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số Þ ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số. Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Côsi thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC . Bài 2. CMR (1) Giải Ta có (1) tương đương với: Theo BĐT Côsi ta có: (đpcm) Bài 3. CMR (1) Giải Ta có biến đổi sau, (1) tương đương: Theo BĐT Côsi ta có: Ta có bài toán tổng quát 1: CMR: Bài 4. Chứng minh rằng : Giải Ta có : Bài 5. Cho Chứng minh rằng : Giải Sơ đồ điểm rơi : Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu “ = ” của BĐT xảy ra khi . Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm là sau khi sử dụng BĐT Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu “ = ” là a = b = c .Do đó ta có lời giải sau : 3.5. Kỹ thuật nhân thêm hằng só trong đánh giá TBN sang TBC : Bµi 1. Chứng minh rằng: Giải Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới : phương pháp nhân thêm hằng số. Ta có : Þ Dấu “ = ” xảy ra Û Ta nhận thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tai sao lại nhân thêm 1 mà không phải là 2. Thực chất của vấn đề là chúng ta chọn điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b = 1/2. Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên thì học sinh sẽ dễ mắc sai như trong VD sau. Bài 2. Cho Tìm giá trị lớn nhất: Giải Sai lầm thường gặp: Þ Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy ra Û a + b = b + c = c + a = 1 Þ a + b + c = 2 trái với giả thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm của BĐT sẽ là từ đó ta dự đoán Max S = . Þ a + b = b + c = c + a = Þ hằng số cần nhân thêm là . Vậy lời giải đúng là : Þ Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh có định hướng tốt hơn: Cho Chứng minh rằng: . Tuy nhiên nếu nắm được kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được. Bài 3. Cho Tìm Max Giải Sai lầm thường gặp Þ Þ Max S = Nguyên nhân sai lầm Max S = Û Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S thường xảy ra điều kiện : Û Û ÞVậy hằng số cần nhân thêm là: . Ta có lời giải: Þ Vậy Max S = . Dấu “ = ” xảy ra Û Û . 3.6. Kỹ thuật ghép đối xứng: Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm được một số thao tác sau : Phép cộng : Phép nhân : Bài 1. Chứng minh rằng : Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: Þ . Dấu “ = ” xảy ra Û a = b = c. Bài 2. Chứng minh rằng: Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: Þ Bài 3. Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR a) . b) Giải a) Áp dụng BĐT Côsi ta có: b) Áp dụng BĐT Côsi ta có: Þ Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi và chỉ khi đều : a = b = c ( p là nữa chu vi của ABC: ) Bài 4. Cho ABC, a, b, c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :. Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: Þ Dấu “ = ” xảy ra Û ABC đều : a = b = c. 3.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số : Nội dung cần nắm được các thao tác sau : 1. 2. Bài 1. Chứng minh rằng : (1) Giải Ta biến đổi (1) tương đương: Û Û (đpcm ) Bài 2. Chứng minh rằng : Giải Ta biến đổi tương đương BĐT như sau: Û (đpcm ) Bài 3. Chứng minh rằng : , (BĐT Nesbit) Giải Ta biến đổi tương đương BĐT như sau: Û Û Û (đpcm) Bài 4. Chứng minh rằng : Giải Ta biến đổi BĐT như sau: Û Û Û Û Û 3.8. Kỹ thuật đổi biến số : Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trang thái dễ biến đổi hơn. Phương pháp tren gọi là phương pháp đổi biến số. Bài 1. Chứng minh rằng: (BĐT Nesbit) Giải Đặt : . Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau: Û Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thậ vậy, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : VT Dấu “ = ” xảy ra Û x = y = z Û a = b = c Bài 2. Cho ABC. Chứng minh rằng : Giải Đặt : . Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau: Û (2) Ta có : VT (2) Bài 3. Cho ABC. CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) abc (1) Giải Đặt : . Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau : Áp dụng BĐT Côsi, ta có : (đpcm) Bài 4. Cho ABC. CMR: (1) Giải Đặt : th× (1) Û (2) Ta có: VT (2) = Dấu “ = ” xảy ra Û x = y = z Û a = b = c Û ABC đều. 3.9. Một số bài tập áp dụng 3.9.1. Kỹ thuật chọn điểm rơi và đánh giá từ TBC sang TBN Cho a 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho 0 < a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho Chứng minh rằng : Cho Chứng minh rằng : 3.9.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi ¸đánh giá từ TBN sang TBC Cho Chứng minh rằng : Cho Chứng minh rằng : 3.9.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi và nhân thêm hằng số trong đó đánh giá từ TBN sang TBC Cho Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: ( Gợi ý: CMR ) Cho Tìm Max Cho Tìm Max 3.9.4. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số : Cho CMR : Cho CMR: Cho tam giác ABC, M thuộc miền trong tam giác. Gọi MA, MB, MC thứ tự giao với BC, AC, AB tại D, E, F. Chứng minh: a) ; b) ; c) ; d) ; e ) ; f) . IV. Một số ứng dụng của bất đẳng thức: 4.1. Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình: Bài 1. Giải phương trình Giải Điều kiện: x ³ 0, y ³ 1, z ³ 2. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có : Suy ra : Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (1; 2; 3) Bài 2. Giải phương trình : (1) Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : Þ (2) Kết hợp (1) và (2) ta có: Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 4. Giải hệ phương trình: Giải Điều kiện: x ³ 1, y ³ 1. ¸ Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: (1) Tương tự : (2) Cộng (1), (2) ta được : . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi. Thử lại thấy: x = y = 2 cũng thoả mãn phương trình thức nhất của hệ Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( 2; 2 ) Giải Từ hệ đã cho suy ra x1, x2, ... , xn là cùng dấu . Giả sử xi ³ 1 với mọi i. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : . Tương tự : xi ³ 1 với mọi i. Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được: Vì xi ³ 1 nên với mọi i, suy ra: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn = 1 Bài 6. Giải hệ phương trình: Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : Tương tự : Vậy : yx z y, suy ra x = y = z. Thay y = x vào phương trình thứ nhất ta được : Vậy hệ có hai họ nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)} Bài 7. Tìm số nguyên dương n và các số nguyên dương a1 = a2 = ... = an thoả các điều kiện : Giải Lấy (1) cộng (2) vế theo vế , ta được : Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : víi i = 1, 2, ... , n Suy ra 4 ³ 2n hay n 2: Với n = 1: hệ vô nghiệm; Với n = 2: hệ có nghiệm a1 = a2 = 1 Vậy: n = 2 và a1 = a2 = 1 4.2. . Một số bài tập tượng tư vận dụng Giải phương trình sau Giải phương trình 3. Giải hệ phương trình 4. Xác định số nguyên dương n và các số dương x1, x2 , , xn thoả 5. Giải hệ phương trình 6. Giải hệ phương trình C. PHẦN KẾT LUẬN: IV/ Đánh giá kết quả Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh, tôi thấy đã đạt được một số kết quả cụ thể như sau: Với việc trình bày các bài toán cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa ngay sau đó, sẽ giúp tăng cường bài giảng cho các thầy , cô giáo và với các em học sinh sẽ dễ hiểu và biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo các kiến thức đã học làm cơ sở cho việc tiếp thu bài mới một cách thuận lợi, vững chắc. Học sinh biết vận dụng các kiến thức đơn lẻ để giải các bài toán tổng hợp nhiều kiến thức. Ngoài ra có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khác nhau sẽ giúp các em học sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải. Với phong cách trình bày như vậy, bộ tài liệu này còn nhằm giúp cho các em học sinh rèn luyện năng lực vận dụng lý thuyết được học .Tạo không khí sôi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh bằng các

Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cauchy Trong Chứng Minh Bđt

Cập nhật lúc: 09:53 12-01-2024 Mục tin: LỚP 10

Toàn bộ các quy tắc khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bài tập vận dụng giúp các em hết bỡ ngỡ khi gặp các bài toán tương tự về bất đẳng thức có sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

+ Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.+ Quy tắc dấu bằng: dấu bằng ” = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.

+ Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu ” = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. + Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. + Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu ” = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu ” = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : ” ≥ “, ” ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại.

Bất Đẳng Thức Cosi Và Cách Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cosi

Posted by itqnu

Ngay từ bậc Tiểu học, chúng ta đã được làm quen với trung bình cộng và trung bình nhân rồi phải không nào? Và khi càng học cao hơn, chúng ta sẽ nhận thấy các bất đẳng thức còn được sử dụng với nhiều dạng khác nhau.

Trong đó được sử dụng nhiều nhất có lẽ chính là bất đằng thức Cosi. Vậy bất đẳng thức Cosi được định nghĩa như thế nào? Làm thế nào để chứng minh được bất đẳng thức Cosi? Có những kỹ thuật nào sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh các bất đẳng thức khác hay không?…

Khái niệm bất đẳng thức Cosi

Trong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm Chứng minh bất đẳng thức Cosi 1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Ta thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi.

Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương (đpcm)

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì bất đẳng thức luon đúng. Vì thế, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số dương mà thôi.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 4 số dương mà thôi.

Ta được bất đẳng thức cosi cho 3 số dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương

n=2 thì bất đẳng thức đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số.

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:

Đây chính là bất đẳng thức cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm.

Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức cosi

Quy tắc song hành: hầu hết các bất đẳng thức đều có tính đối xứng, do đó, việc sử dụng các chứng minh một cách song hành sẽ giúp ta dễ hình dung ra kết quả hơn, cũng như định hướng cách giải nhanh hơn

Quy tắc dấu bằng: dấu “=” trong bất đẳng thức rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của bất đẳng thức. Do đó, bạn phải rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu “=”

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: một nguyên tắc khi áp dụng song hành các bất đẳng thức đó là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “=” phải được dùng thỏa mãn cùng với một điều kiện của biến

Quy tắc biên: cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên

Quy tắc đối xứng: các bất đẳng thức thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : “≥”, “≤” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại

Ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức khác

Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a, b. Chứng minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab.

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có: