Tóm tắt lý thuyết
Với các đẳng thức, ta có thể biến đổi:
(a + b = c Leftrightarrow a + b – c = 0 to ) Chuyển vế và đổi dấu
(2a + 4b = – 2 Leftrightarrow 1 + 2b = – 1 to ) Chia cả hai vế cho 2
Và với các phương trình chúng ta cũng có được những quy tắc như vậy, cụ thể:
1. Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạn tử đó.
2. Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.
Ví dụ 1: Sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình để giải các phương trình sau:
a. ({x^2} + x = {x^2}) b. (2x = 1) c. (3x = x + 8)
Giải
a. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng:
({x^2} + x – {x^2} = 0 Leftrightarrow x = 0)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
b. Sử dụng quy tắc chia với một số, biến đổi phương trình về dạng: (x = frac{1}{2})
Vậy phương trình có nghiệm (x = frac{1}{2})
c. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi phương trình về dạng:
(3x – x = 8 Leftrightarrow 2x = 8 Leftrightarrow x = 4)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4
Trong lời giải các phương trình trên, chúng ta đã thừa nhận rằng kết quả ” Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho “.
Định nghĩa: Phương trình
ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và (a ne 0).
Được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 2: Tìm điều kiện tham số m để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn:
a. (({m^2} – 1){x^2} + mx + 1 = 0)
b. (mx + (m – 1)y + 2 = 0)
Giải
a. Để phương trình: (({m^2} – 1){x^2} + mx + 1 = 0) là phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi:
(left{ begin{array}{l}{m^2} – 1 = 0\m ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = pm 1\m ne 0end{array} right. Leftrightarrow m = pm 1.)
Vậy với m = 1 hoặc m = -1 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x.
b. Để phương trình: (mx + (m – 1)y + 2 = 0) là phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi:
(left{ begin{array}{l}m ne 0\m – 1 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m ne 0\m = 1end{array} right. Leftrightarrow m = 1)
Trường hợp 2: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi:
(left{ begin{array}{l}m = 0\m – 1 ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = 0\m ne 1end{array} right. Leftrightarrow m = 0)
Kết luận:
* Với m = 1 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x.
* Với m = 0 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn y.
Phương trình bậc nhất một ẩn được giải như sau: ({rm{ax}} + b = 0 Leftrightarrow {rm{ax = – b}} Leftrightarrow {rm{x = – }}frac{b}{a}) Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có nghiệm duy nhất (x = – frac{b}{a}).
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a. 5x – 3 = 0
b. 6 – 2x = 0
Giải
a.
Biến đổi tương đương phương trình về dạng: (5x = 3 Leftrightarrow x = frac{3}{5})
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x = frac{3}{5})
b.
Biến đổi tương đương phương trình về dạng: ( – 2x = – 6 Leftrightarrow x = 3)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.