Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng 0 Nhân Vô Cùng

Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng A. Phương pháp giải & Ví dụ

Bài toán: Tính giới hạn

Ta có thể biến đổi về dạng 0/0 hoặc ∞/∞ rồi dùng các phương pháp tính giới hạn của hai dạng kia để làm.

Tuy nhiên, trong nhiều bài tập ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn, quy đồng mẫu thức …. Là có thể đưa về dạng quen thuộc.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính giới hạn:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 2: Tính giới hạn:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 3: Tính giới hạn:

Hướng dẫn:

Bài 4: Tính giới hạn:

Hướng dẫn:

Bài 5: Tính giới hạn:

Hướng dẫn:

Bài 6: Tính giới hạn:

Hướng dẫn:

(chia cả tử và mẫu cho x 3)

Bài 7: Tính giới hạn:

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: bằng:

A. √5 B. 0 C. 5/2 D. +∞

Bài 2: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:

A. Không tồn tại B. 0 C. 1 D. +∞

Bài 3: Cho hàm số . Giá trị đúng của là:

A. -∞

B. 0

C. √6

D. +∞

Bài 4: Giới hạn bằng:

A. 0 B.-1 C.1 D. -∞

Bài 5: Giới hạn bằng:

A. +∞ B. -∞ C.0 D.1

Bài 6: Giới hạn bằng:

A. -√2/2 B. √10/5 C. -√5/5 D. √2

Bài 7: Giới hạn bằng:

A. 0 B. 1 C. +∞ D. không tồn tại

Bài 8: Giới hạn bằng:

A. 1 B. 0 C. -∞ D. không tồn tại

Bài 9: Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn

A. (-1/a 2) B. +∞ C. -∞ D. không tồn tại

Bài 10: Tính giới hạn

A. 2 B.0 C. 0.5 D. 0.25

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Chương Iv. §2. Giới Hạn Của Hàm Số

Gv: Khái quát các trường hợp của giới hạn hàm số tại một điểm : Bài toán:Tính TH1: Nếu xác định tại thì (Chỉ cần thếvào hàm số )TH2: Nếu thế vào mà được các dạng vô định ( nghĩa là không xác định tại ):1.Dạng : dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân liên hợp( nếu có chứa căn thức)2.Dạng (với thường gặp trong giới hạn một bên) : ta làm theo cách tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của , dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả.Gv: yêu cầu học sinh lên bảng giải bài tập, các em còn lại giải bài tập ra nháp. Hướng dẫn giải bài tập: a) ta thấy hàm số xác định tại nên ta thay vào phương trình b) ta thấy nếu thay vào hàm số thì ta có cả tử và mẫu đều là bằng không (ta có dạng vô định ) và cả tử và mẫu đều là tam thức bậc haita sẽ tách theo công thức với và là nghiệm của phương trình c) ta thấy hàm số ở dạng mà có căn dưới mẫu nên ta dùng cách nhân liên hợp d) ta có hàm số giới hạn một bên, ta làm theo cách tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của , dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả.Gv: gọi học sinh đứng lên nhận xétGv: chính xác hóa lời giải Hs: nghi nhận và ghi vào vở

Hs: lên bảng làm bài tập

Hs: nhận xét bài bạn

b)

vìnên Vậy

Hoạt động 2: Giới hạn hàm số tại vô cực Hướng dẫn HS giải bài toán : Tính : Dạng toán này thường áp dụng 2 phương pháp :1.Rút mũ cao nhất (thường áp dụng cho các dạng )2.Nhân liên hợp ( thường áp dụng cho dạng và có chứa căn thức)– Lưu ý các giới hạn đặc biệt để xét giới hạn trong bài tập.Gv:Yêu cầu HS nghiên cứu giải bài tập 2.Gv:Gọi HS lên bảng trình bày lời giải Gv:Gọi HS khác nhận xét bài làmGv: Nhận xét,sửa chữa lời giải của HS.Khái quát lại các giải của dạng giới hạn hàm số tại vô cựcxác hóa lời giải của học

Bài Tập Giới Hạn Dãy Số

Bài tập giới hạn dãy số – có lời giải chi tiết. Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp: + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp:

+ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

+ Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng cóthể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉta rút ra nhận xét như sau.

+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng + – vô cùng

+ Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:

+ Nếu bậc của tử béhơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.

Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn cóthể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.

Thật vậy, sử dụng nhận xét đóta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:

Các Quy Tắc Tính Giới Hạn Hàm Số

Các quy tắc tính giới hạn hàm số 1. Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

+ Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = pm infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = L ne 0) thì (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]) được cho trong bảng sau:

3.1.Dạng $frac{0}{0}$ đối với giới hạn tại một điểm

Ví dụ 1: Tính: $mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$

Giải

Bước 1: Ta thế 4 vào phương trình f(x) thì sẽ được dạng  nên khẳng định đây là dạng $frac{0}{0}$.

Bước 2: Biến đổi: $mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{left( {x – 4} right)left( {x + 4} right)}}{{x – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} left( {x + 4} right) = 8$

Ví dụ 2.

Tính $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$

Giải

Bước 1: Ta thế 0 vào biểu thức dưới dấu lim thì sẽ thấy dạng  $frac{0}{0}$  nên khẳng định đây là dạng  $frac{0}{0}$.

Bước 2: Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu:

$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$ $ = lim frac{{left( {sqrt {{x^2} + 1} – 1} right)left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}{{{x^2}left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}$ $mathop { = lim }limits_{x to 0} frac{{{x^2}}}{{{x^2}left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}$

Đến đây, chia cả tử và mẫu cho x2 ta được: $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{1}{{sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = frac{1}{2}$

3.2.Dạng $frac{infty }{infty }$

 Phương pháp: Ta chia cho x với số mũ lớn nhất của tử và mẫu.

Ví dụ 1.

Tính giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4{x^2} – x – 1}}{{3 + 2{x^2}}}$.

Giải

Thay $ + infty $ và biểu thức ta thấy có dạng $frac{{ + infty }}{{ + infty }}$.

Lại có bậc của x lớn nhất bằng 2, ta chia cả tử và mẫu cho x2.

$mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4{x^2} – x – 1}}{{3 + 2{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4 – frac{1}{x} – frac{1}{{{x^2}}}}}{{frac{3}{{{x^2}}} + 2}} = frac{4}{2} = 2$

3.3. Dạng ${ + infty + infty }$

Ví dụ

Tính các giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {4{x^2} – x – 1} – x}}{{x – 1}}$

Giải

Lưu ý: Học sinh rất dễ nhầm dạng ${ + infty + infty }$ và dạng ${ + infty – infty }$.

3.4. Dạng ${ + infty – infty }$ Ví dụ

Tính gới hạn sau:$mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)$.

Giải

Bước 1: Nhân với biểu thức liên hợp của biểu thức sau dấu lim.

Bước 2: Sau liên hợp, có dạng $frac{infty }{infty }$, nên ta chia cả tử và mẫu cho x.

$mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)$

$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}{{left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}$

$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – x – 1}}{{left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}$

$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 1 – frac{1}{x}}}{{left( {sqrt {1 – frac{1}{x}} + sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} } right)}} = – frac{1}{2}$

3.5. Dạng ${0.infty }$

Ví dụ

Tính giới hạn sau:$mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)sqrt {frac{x}{{{x^2} – 9}}} $

Giải

$mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)sqrt {frac{x}{{{x^2} – 9}}} $

$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)frac{{sqrt x }}{{sqrt {{x^2} – 9} }}$

$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)frac{{sqrt x }}{{sqrt {x – 3} .sqrt {x + 3} }}$

$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} frac{{sqrt {x – 3} sqrt x }}{{sqrt {x + 3} }} = 0$

Các phương pháp tính giới hạn dãy số.

Các phương pháp tính gới hạn hàm số.

Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit

Toán lớp 12: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit A. Phương pháp giải & Ví dụ

Bài toán 1: Giới hạn của hàm số mũ, hàm số Logarit

Phương pháp

Chúng ta có các dạng giới hạn đặc biệt sau:

Mở rộng: Ta có

Quy tắc Lopitan: Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 trừ tại điểm x 0 thì:

Đồng thời

Quy tắc vẫn đúng với x → ∞

Bài toán 2: Đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Phương pháp:

– Hàm số lũy thừa:

– Hàm số mũ:

– Hàm số Logarit:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

a) Ta biến đổi

b) Ta biến đổi

c) Ta biến đổi

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm giới hạn sau

Hiển thị đáp án

Bài 2: Tìm giới hạn sau

Hiển thị đáp án

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 2

Hiển thị đáp án

Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log(ln2x).

Hiển thị đáp án

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số

Hiển thị đáp án

Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số

Hiển thị đáp án

Bài 7: Tính đạo đạo hàm của hàm số y=log 3(x+1)-2ln(x-1)+2x tại điểm x = 2

Hiển thị đáp án

Bài 8: Cho hàm số . Tính tổng T

Bài 9: Cho . Tính giá trị biểu thức S

Bài 10: Cho hàm số y = ln(2x 2 + e 2). Nếu thì giá trị m bằng bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Ta có

Dạng 1: Lũy thừa: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải

Dạng 2: Lôgarit: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải

Dạng 3: Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Dạng 4: Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

ham-so-mu-ham-so-luy-thua-ham-so-logarit.jsp