Các quy tắc tính giới hạn hàm số
1. Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))
+ Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = pm infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = L ne 0) thì (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]) được cho trong bảng sau:
3.1.Dạng $frac{0}{0}$ đối với giới hạn tại một điểm
Ví dụ 1: Tính: $mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$
Giải
Bước 1: Ta thế 4 vào phương trình f(x) thì sẽ được dạng nên khẳng định đây là dạng $frac{0}{0}$.
Bước 2: Biến đổi: $mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{left( {x – 4} right)left( {x + 4} right)}}{{x – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} left( {x + 4} right) = 8$
Ví dụ 2.
Tính $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$
Giải
Bước 1: Ta thế 0 vào biểu thức dưới dấu lim thì sẽ thấy dạng $frac{0}{0}$ nên khẳng định đây là dạng $frac{0}{0}$.
Bước 2: Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu:
$mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$ $ = lim frac{{left( {sqrt {{x^2} + 1} – 1} right)left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}{{{x^2}left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}$ $mathop { = lim }limits_{x to 0} frac{{{x^2}}}{{{x^2}left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}$
Đến đây, chia cả tử và mẫu cho x2 ta được: $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{1}{{sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = frac{1}{2}$
3.2.Dạng $frac{infty }{infty }$
Phương pháp: Ta chia cho x với số mũ lớn nhất của tử và mẫu.
Ví dụ 1.
Tính giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4{x^2} – x – 1}}{{3 + 2{x^2}}}$.
Giải
Thay $ + infty $ và biểu thức ta thấy có dạng $frac{{ + infty }}{{ + infty }}$.
Lại có bậc của x lớn nhất bằng 2, ta chia cả tử và mẫu cho x2.
$mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4{x^2} – x – 1}}{{3 + 2{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4 – frac{1}{x} – frac{1}{{{x^2}}}}}{{frac{3}{{{x^2}}} + 2}} = frac{4}{2} = 2$
3.3. Dạng ${ + infty + infty }$
Ví dụ
Tính các giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {4{x^2} – x – 1} – x}}{{x – 1}}$
Giải
Lưu ý: Học sinh rất dễ nhầm dạng ${ + infty + infty }$ và dạng ${ + infty – infty }$.
3.4. Dạng ${ + infty – infty }$
Ví dụ
Tính gới hạn sau:$mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)$.
Giải
Bước 1: Nhân với biểu thức liên hợp của biểu thức sau dấu lim.
Bước 2: Sau liên hợp, có dạng $frac{infty }{infty }$, nên ta chia cả tử và mẫu cho x.
$mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)$
$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}{{left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}$
$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – x – 1}}{{left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}$
$ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 1 – frac{1}{x}}}{{left( {sqrt {1 – frac{1}{x}} + sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} } right)}} = – frac{1}{2}$
3.5. Dạng ${0.infty }$
Ví dụ
Tính giới hạn sau:$mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)sqrt {frac{x}{{{x^2} – 9}}} $
Giải
$mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)sqrt {frac{x}{{{x^2} – 9}}} $
$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)frac{{sqrt x }}{{sqrt {{x^2} – 9} }}$
$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)frac{{sqrt x }}{{sqrt {x – 3} .sqrt {x + 3} }}$
$ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} frac{{sqrt {x – 3} sqrt x }}{{sqrt {x + 3} }} = 0$
Các phương pháp tính giới hạn dãy số.
Các phương pháp tính gới hạn hàm số.