Xu Hướng 3/2023 # Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông # Top 8 View | Englishhouse.edu.vn

Xu Hướng 3/2023 # Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông # Top 8 View

Bạn đang xem bài viết Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông được cập nhật mới nhất trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Nguyễn Thị Mỹ Lệ

Trắc nghiệm trực tuyến

Trong tam giác vuông, nếu biết hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc nhọn thì có thể tính được các góc và các cạnh còn lại của tam giác đó hay không?

Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao  trong tam giác vuông

Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AC = b và AB = c. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và CH = b’, BH = c’ lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC (h.1)

Hình 1

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h1.ggb

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.

Định lý 1.

Cụ thể, trong tam giác ABC vuông tại A (h.1), ta có: b2 = ab’; c2 = ac’ (1)

Chứng minh (h.1)

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó: , suy ra AC2 = chúng tôi tức là: b2 = a.b’. Tương tự, ta có: c2 = a.c’.

Ví dụ 1. (Định lý pitago – một hệ quả của định lý 1).

Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC (h.1), cạnh huyền a = b’ + c’, do đó: b2 + c2 = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a.a = a2.

Như vậy, từ định lý 1, ta cũng suy ra định lý Py-ta-go.

Định lý 2.

Cụ thể, với các quy ước ở hình 1, ta có:

h2 = b’.c’ (2)

?1 Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB đồng dạng với ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).

Ví dụ 2. Tính chiều cao của cây trong hình 2, biết rằng người đo đứng cách cây 2, 25m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1, 5 .

Giải. Ta có: tam giác ADC vuông tại D, ta có:

BD2 = AB . BC

Tức là: (2,25)2 = 1,5 . BC

Suy ra: .

Vậy chiều cao của cây là: AC = AB + BC = 1,5 + 3, 375 = 4, 875 (m).

Hình 2

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h2.ggb

Định lý 3.

Với các kí hiệu trong hình 1, kết luận của định lý 3 có nghĩa là:

bc = ah. (3)

Từ công thức tính diện tích tam giác, ta nhanh chóng suy ra hệ thức (3). Tuy nhiên, có thể chứng minh hệ thức (3) bằng cách khác.

?2

Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.

Nhờ định lý Pi-ta-go, từ hệ thức (3), ta có thể suy ra một hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông. Thật vậy, ta có

Hệ thức (4) được phát biểu thành định lý sau đây.

Định lý 4

Ví dụ chúng tôi tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.

Giải. (h.3)

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giá này là h. Theo hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông, ta có:

Hình 3

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h3.ggb

Chú ý: Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.

Có thể em chưa biết?

Các hệ thức b2 = ab’; c2 = ac’ (1) và h2 = b’.c’ (2) (xem hình 1) còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Tương tự, hệ thức (2) được phát biểu như sau:

Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Bài tập

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:

1. (h4a, b)

Hình 4a

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h4a.ggb

Hình 4b

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h4b.ggb

2. (h.5)

Hình 5

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h5.ggb

3. (h.6)

Hình 6

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h6.ggb

4. (h.7)

Hình 7

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h7.ggb

Luyện tập

5. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3, 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn mà nó định ra trên cạnh huyền.

6. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

7. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:

Cách 1 (h.8)

Hình 8

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h8.ggb

Cách 2 (h.9)

Hình 9

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h9.ggb

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Bài 8. Tìm x và y trong mỗi hình sau:

a. (h.10)

Hình 10

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h10.ggb

b. (h.11)

Hình 11

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h11.ggb

c. (h.12)

Hình 12

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h12.ggb

9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a. Tam giác DIL là một tam giác cân;

b. Tổng  không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Giải Toán 9 Bài 4. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông

$4. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Tóm tắt kiến thức Các hệ thức Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng : Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề ; Cạnh góc TJông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = asinC = acosB c = btgC = bcotgB Giải tam giác vuông Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại. B. Ví dụ giải toán A Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A biết B = 57° và AC = 3,5. Nhận xét. ơ trên ta đã tính BC bằng cách lấy AC (đã cho) chia cho sin B (góc B đã cho). Kết quả sẽ chính xác hơn là tính BC qua các kết quả trung gian. Ví dụ nếu tính BC theo định lí Py-ta-go, BC2 = AB2 + AC2 thì phải dùng số đo của AB " 2,3, đó là một số gần đúng, kết quả có thể kém chính xác hơn. Ví dụ 2. Tam giác ABC có AB = 4 ; AC = 3. Tính diện tích tam giác này trong hai trường hợp : a) Â = 60° ; b) Â = 120°. Giải. Vẽ CH ± AB. Trong cả hai trường hợp ta đều có CAH = 60°. Bài 26 Bài 27 Hình a Hình c Ta có CH = chúng tôi 60° = chúng tôi 60° ~ 2,6. Diện tích AABC là : s = ị chúng tôi " ị .4.2,6 = 5,2 (đvdt). 2 2 Nhận xét. Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được rằng : Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 'ABC = - chúng tôi A (nếu góc A nhọn). = - chúng tôi sin(l 80° - A) (nếu góc A tù). c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa HD. Chiều cao của tháp là chúng tôi 34° -58 (m) (h.a) B = 90° - 30° = 60°. AB = chúng tôi c = chúng tôi 30° " 5,774 (cm) ; AC 1 (ì BC = " 11,547 (cm). cosC cos30° (h.b) B = 90° - 45° = 45°. AB 10 sinC sin 45° (h.c) C = 90° - 35° = 55°. AB = chúng tôi B = chúng tôi 35° " 16,383 (cm); AC = chúng tôi B = chúng tôi 35° " 11,472 (cm). AC 18 tgB = -9^ = 77 " 0,8571 AB 21 BC = B "41°; C "49°. AC 18 27,437 (cm). sinB sin41° Nếu tính theo định lí Py-ta-go thì Bài 28. Bài 29. Bài 30. Bài 31. BC - V2Ĩ +18 " 27,659 (cm). Hình d Kết quả này chính xác hơn vì khi tính toán, ta dùng ngay các số liệu đã cho mà không dùng kết quả trung gian. 4 HD. cos a = 250 320 a "38 37'. Vẽ BK 1 AC, ta được KBC = 60° và KBA = 60° - 38° = 22°. Xét AKBC vuông tại K có : BK = chúng tôi c = 1 chúng tôi 30° = 5,5 (cm). Xét AKBA vuông tại K có : .-"'C 11 BK 5,5 AB = 5,932 (cm). cos 22° cos 22° Xét AABN vuông tại N có AN = AB.sin38° " 5,932.sin38° " 3,652 (cm). Xét AANC vuông tại N có AC = AN _ ~ 75304 (cm). sinC sin 30° Xét AABC vuông tại B có : AB = chúng tôi c = chúng tôi 54° " 6,472 (cm). Vẽ AH ± CD. Xét AACH có : B AH = chúng tôi c = chúng tôi 74° " 7,690 (cm). Xét AAHD vuông tại H có : AH 7,690 sin D = AD ~ 9,6 Nhận xét. Để tính được số đo của góc D, ta đã vẽ AH -L CD. Mục đích của việc vẽ đường phụ này là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài hai cạnh và có góc D là một góc nhọn của nó. Từ đó tính được một tỉ số lượng giác của góc D rồi suy ra số đo của góc D. Bài 32. Gọi AB là đoạn đường mà con thuyền đi được trong 5 phút, BH là chiều rộng của khúc sông, -ỉ- h là 12 Xét AABH vuông tại H, biết cạnh huyền AB và một góc nhọn thì có thể tính được BH. Quãng đường thuyền đi trong 5 phút AB = 2.-^- = ị (km). 12 6 157 m. Chiều rộng khúc sông là : BH = chúng tôi A - - sin 70° " 0,1566 (km) 6 D. Bài tập luyện thêm Giải tam giác ABC vuông tại A biết: BC = 6,3 ; C = 40° ; AB = 4,5 ; AC = 5,3. Tam giác ABC có B = 70° ; C = 50°, đường cao AH = 3,0. Tính diện tích tam giác ABC. Cho hình bình hành ABCD có AB = 5,2 ; BC = 3,5 và B = 75°. ' Tính diện tích hình bình hành. Tam giác ABC có BC = 8,4 ; B = 65° ; C = 40°. Tính chu vi tam giác ABC. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô' a) B =50°; AB " 4,0 ; AC " 4,8. b)tgc= ±1 "tg40° BH " 1,1 ; CH " 2,5, do đó BC " 3,6 3. 4. (Xem hình bên) Vẽ đường cao CH, ta có CH = chúng tôi B = 3,5.sin 75° " 3,4. Diện tích hình bình hành là : s" 5,23,4 = 17,7 (đvdt). Â = 180°-(65°+ 40°) = 75°. Vẽ các đứờng cao AH và BK. Ta có BK = chúng tôi c = 8,4.sin 40° " 5,4. AB=-^-^L,5.6. sin A sin 75° AH = chúng tôi B " 5,6.sin 65° " 5,1. AC = '1 S3 7,9. sinC sin 40° Chu vi tam giác ABC là : 8,4 + 5,6 + 7,9 = 21,9. Nhận xét : Việc vẽ thêm các đường cao AH và BK tạo điều kiện vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các cạnh của tam giác.

Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông Và Phương Pháp Giải

Toán học là một môn học có vai trò rất quan trọng trong đời sống thực tiễn, đồng thời toán học cũng là tiền đề cho sự phát triển của các ngành khoa học khác. Nhưng toán học thường mang tính trừu tượng cao đòi hỏi khả năng tư duy, lập luận tích cực, chính xác, độc lập và sáng tạo,…đồng nghĩa là việc giải các bài toán học cũng không kém phần khó khăn nhất là nội dung chứng minh hình học. Việc giải bài toán đã khó, đặc biệt là hình học các em rất lơ mơ, không biết vẽ, nhìn hình, không biết chứng minh, áp dụng…. Vậy làm thế nào cho các em phát huy các năng lực tư duy logíc, tính tích cực chủ động và sáng tạo, chủ động tìm tòi và giải quyết vấn đề để tự tìm ra tri thức cho bản thân? Câu trả lời này là điều mong muốn tột bật của những người làm công tác giáo dục nói chung và người giáo viên toán như chúng ta nói riêng ngày ngày đi tìm câu trả lời thực tế qua kết quả học tập của các em.

2. Nội dung:

Bước 1: Phát hiện và thâm nhập vấn đề

Thường sử dụng các suy luận logic, các phương thức tư duy ( khái quát hóa, tương tự hóa, tư duy hàm,….) , dùng thực nghiệm ( tính toán , đo đạc,…) để xây dựng các giả thuyết.

Bước 2: Tìm giải pháp Tìm một giải pháp theo sơ đồ:

Khi phân tích vấn đề , cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm.Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu , huy động tri thức thường hay sử dụng những phương pháp, kỹ thuật nhận thức, tiên đoán, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược… Khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm được hướng đi hợp lí.

Kết quả của việc này là hình thành được một giải pháp.

Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp đó có đúng đắn hay không. Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng.

Bước 3: Trình bày giải pháp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả. Đề xuất vấn đề mới.

2.2. Các biện pháp định hướng giảng dạy chính: 2.2.1.Biện pháp 1: Giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ø Hiểu và sử dụng đúng các thuật ngữ trong chương :

Các từ ngữ, thuật ngữ, các yếu tố mà học sinh cần phải nắm: hình chiếu, cạnh góc vuông, cạnh huyền, đường cao. Đó là những kiến thức mà học sinh đã được học ở chương trình toán 7 tập II. Tuy nhiên đòi hỏi giáo viên phải nhắc lại những kiến thức cơ bản đó nhằm giúp cho học sinh có điều kiện phát hiện, tiếp cận kiến thức mới tốt hơn.

Ngoài các từ ngữ, thuật ngữ, các yếu tố mà học sinh đã biết ở trên thì các em cần phải nắm các từ ngữ, thuật ngữ, các yếu tố mới như: cạnh đối, cạnh kề, góc đối, góc kề, hai góc phụ nhau,…

Trên cơ sở đã nắm vững các thuật ngữ đã biết, bản chất của khái niệm, phát biểu rõ ràng, chính xác khái niệm, tìm được mối liên hệ với các khái niệm khác trong hệ thống khái niệm sẽ giúp cho học sinh hiểu và sử dụng được các thuật ngữ, kí hiệu. Đồng thời có thể chuyển được một bài toán, hay một định lí từ ngôn ngữ thường sang ngôn ngữ đại số. Giúp cho việc giải quyết vấn đề trở nên đơn giản hơn.

Lời kết: Với kiến thức về “Hệ thức lượng trong tam giác vuông ” góp phần cung cấp cho người đọc các biện pháp cơ bản nhằm phát triển cho học sinh năng lực tự phát hiện và giải quyết vấn đề. Từ đó góp phần bồi dưỡng năng lực chứng minh toán học nói riêng và năng lực giải toán nói chung. Qua việc giải toán các em có được thói quen làm việc độc lập suy nghĩ, dự đoán, tìm tòi, nhận dạng, lựa chọn, …để tìm ra cách giải đúng đắn và hợp lí. Góp phần rèn luyện năng lực tư duy, suy luận logic, phát triển trí tuệ, hình thành các em lòng say mê học hỏi, hứng thú học tập. Đây chính là một trong các mục tiêu lớn của GV chúng ta. Vì vậy với mong muốn của chuyên đề này sẽ góp thêm một phần nhỏ về kinh nghiệm giảng dạy.

Bài Toán Giải Tam Giác Vuông

I. Hướng dẫn giải

– Dùng hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông.

Cạnh góc vuông bằng:

– Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề – Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề

– Tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông

II. Bài tập mẫu

Bài 1: Giải tam giác vuông ABC vuông tại A, biết AB = 10cm, góc B bằng .

Bài 2. Giải tam giác ABC vuông tại A; biết a=20cm; b=12cm.

Giải tam giác ABC.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tam giác ABC vuông tại A, có BC = 10 cm, góc C bằng . Độ dài cạnh AB bằng:

a. 15cm

b. 5cm

c. 20cm

d. 10cm

Bài 2. Chọn câu đúng. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, có AB=5cm, AC=5cm.

Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB=5cm, HC=64cm. Khi đó số đo của góc B bằng:

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, hệ thức đúng là:

Bài 5. Tam giác vuông giải được, khi biết:

a. Độ dài cạnh huyền.

b. Độ dài cạnh huyền và số đo một góc nhọn.

c. Độ dài một cạnh góc vuông

d. Số đo hai góc nhọn.

Bài 6. Cho tam giác ABC, có: góc B bằng , góc C bằng . Đường cao AH=2,5cm. Khi đó độ dài cạnh BC bằng:

Bài 7. Cho tam giác ABC, có: góc B bằng , góc C bằng . Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH. Khi đó góc MAH bằng:

Bài 8. Tam giác ABC, có: góc B bằng , góc C bằng . Khi đó diện tích tam giác bằng:

Bài 9. Cho hình tháng ABCD biết AB song song CD, góc C bằng , góc D bằng . AB = 1cm, CD = 5cm. Khi đó diện tích hình thang ABCD bằng:

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong AD. Biết BD=3cm, DC=4cm. Độ dài cạnh BC của tam giác bằng:

Cập nhật thông tin chi tiết về Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!