Xu Hướng 3/2024 # Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông # Top 8 Xem Nhiều

Bạn đang xem bài viết Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông được cập nhật mới nhất tháng 3 năm 2024 trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Nguyễn Thị Mỹ Lệ

Trắc nghiệm trực tuyến

Trong tam giác vuông, nếu biết hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc nhọn thì có thể tính được các góc và các cạnh còn lại của tam giác đó hay không?

Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao  trong tam giác vuông

Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AC = b và AB = c. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và CH = b’, BH = c’ lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC (h.1)

Hình 1

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h1.ggb

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.

Định lý 1.

Cụ thể, trong tam giác ABC vuông tại A (h.1), ta có: b2 = ab’; c2 = ac’ (1)

Chứng minh (h.1)

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó: , suy ra AC2 = chúng tôi tức là: b2 = a.b’. Tương tự, ta có: c2 = a.c’.

Ví dụ 1. (Định lý pitago – một hệ quả của định lý 1).

Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC (h.1), cạnh huyền a = b’ + c’, do đó: b2 + c2 = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a.a = a2.

Như vậy, từ định lý 1, ta cũng suy ra định lý Py-ta-go.

Định lý 2.

Cụ thể, với các quy ước ở hình 1, ta có:

h2 = b’.c’ (2)

?1 Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB đồng dạng với ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).

Ví dụ 2. Tính chiều cao của cây trong hình 2, biết rằng người đo đứng cách cây 2, 25m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1, 5 .

Giải. Ta có: tam giác ADC vuông tại D, ta có:

BD2 = AB . BC

Tức là: (2,25)2 = 1,5 . BC

Suy ra: .

Vậy chiều cao của cây là: AC = AB + BC = 1,5 + 3, 375 = 4, 875 (m).

Hình 2

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h2.ggb

Định lý 3.

Với các kí hiệu trong hình 1, kết luận của định lý 3 có nghĩa là:

bc = ah. (3)

Từ công thức tính diện tích tam giác, ta nhanh chóng suy ra hệ thức (3). Tuy nhiên, có thể chứng minh hệ thức (3) bằng cách khác.

?2

Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.

Nhờ định lý Pi-ta-go, từ hệ thức (3), ta có thể suy ra một hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông. Thật vậy, ta có

Hệ thức (4) được phát biểu thành định lý sau đây.

Định lý 4

Ví dụ chúng tôi tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.

Giải. (h.3)

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giá này là h. Theo hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông, ta có:

Hình 3

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h3.ggb

Chú ý: Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.

Có thể em chưa biết?

Các hệ thức b2 = ab’; c2 = ac’ (1) và h2 = b’.c’ (2) (xem hình 1) còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Tương tự, hệ thức (2) được phát biểu như sau:

Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Bài tập

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:

1. (h4a, b)

Hình 4a

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h4a.ggb

Hình 4b

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h4b.ggb

2. (h.5)

Hình 5

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h5.ggb

3. (h.6)

Hình 6

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h6.ggb

4. (h.7)

Hình 7

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h7.ggb

Luyện tập

5. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3, 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn mà nó định ra trên cạnh huyền.

6. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

7. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:

Cách 1 (h.8)

Hình 8

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h8.ggb

Cách 2 (h.9)

Hình 9

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h9.ggb

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Bài 8. Tìm x và y trong mỗi hình sau:

a. (h.10)

Hình 10

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h10.ggb

b. (h.11)

Hình 11

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h11.ggb

c. (h.12)

Hình 12

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h12.ggb

9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a. Tam giác DIL là một tam giác cân;

b. Tổng  không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Hệ Thức Về Góc Và Cạnh Trong Tam Giác Vuông

Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông Lý thuyết và Phương pháp giải

1. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

b = chúng tôi = a.cosC

c = chúng tôi = a.cosB

b = chúng tôi = c.cotC

c = chúng tôi = b.cotC

2. Giải tam giác vuông

Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông tại A biết AC = 4,1 cm; BC = 5,7 cm

Hướng dẫn:

Xét tam giác ABC vuông tại A:

Áp dụng định lí Pytago có:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn, Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

chúng tôi = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

Hướng dẫn:

ΔABE vuông tại E có: AE = AB.cosA

ΔFBC vuông tại F có: BF = BC.cosB

ΔADC vuông tại D có: CD = AC.cosC

⇒ chúng tôi = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC, đường cao AH = h và đường trung tuyến AM, đặt góc HAM bằng α. Chứng minh rằng:

a) HC – HB = 2h.tan⁡α

Hướng dẫn:

a) Ta có:

HC – HB = HM + MC – (MB – HM)

= HM + MC – MB + HM = 2HM (Do MB = MC)

= 2AH.tan⁡α = 2h.tan⁡α

b) Δ AHC vuông tại H có: HC = AH.cot⁡C = h.cot⁡C

Δ AHB vuông tại H có: HB = AH.cot⁡B = h.cot⁡B

Do đó: HC – HB = h(cot⁡C – cot⁡B)

⇒ 2h.tan⁡α = h(cot⁡C – cot⁡B)

Ví dụ 4: Tam giác ABC có diện tích S, các đường cao không nhỏ hơn 1 cm. Chứng minh rằng S ≥ √3/3 cm 2

Hướng dẫn:

Giả sử:

Suy ra sin⁡C ≤ √3/2

Vẽ các đường cao AD và BE

Xét tam giác EBC vuông tại E có: BE = BC.sinC

Diện tích tam giác ABC là:

Vậy S ≥ √3/3 cm 2 (dấu bằng xảy ra khi ΔABC đều)

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD, góc D bằng α < 90 0. Vẽ BH ⊥ CD; BK ⊥ AD.

a) Chứng minh rằng ΔBHK ~ ΔABD

b) Chứng minh rằng HK = BD.sinα

c) Tính diện tích tứ giác KBHD biết AB = 6cm; AD = 4cm; α= 60 0

Hướng dẫn:

Xét tam giác ABK và tam giác CBH có:

Xét ΔBHK và ΔADB có:

⇒ ΔBHK ~ ΔADB (c.g.c)

b) ΔBHK ~ ΔADB

Xét ΔBCH vuông tại H có:

c) Xét ΔKAB vuông tại K có:

AK = AB.cosα = chúng tôi 60 0 = 3(cm) ⇒ DK = 7cm

BK = AB.sinα = chúng tôi 60 0 =3 √3 (cm)

Xét ΔHBC vuông tại H có:

CH = BC.cosα = chúng tôi 60 0 = 2(cm) ⇒ DH = 8cm

BH = BC.sinα = chúng tôi 60 0 = 2√3 (cm)

Diện tích tứ giác KBHD là:

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

chuong-1-he-thuc-luong-trong-tam-giac-vuong.jsp

Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 1: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông

Sách giải toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 66: Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB ∼ ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).

Lời giải

Xét ΔABH và ΔCAH có:

∠(AHB) = ∠(AHC) = 90 o

∠(BAH) = ∠(ACH) (cùng phụ ∠(CAH))

⇒ ΔABH ∼ ΔCAH (g.g)

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 67: Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông tại A có

S ABC = 1/2 AB.AC

Xét tam giác ABC có AH là đường cao

⇒ S ABC = 1/2 AH.BC

⇒ 1/2 chúng tôi = 1/2 chúng tôi ⇒ chúng tôi = chúng tôi hay bc = ah

Bài 1 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b)

Hình 4

Lời giải:

– Hình a

Theo định lí Pitago ta có:

Áp dụng định lí 1 ta có:

– Hình b

Áp dụng định lí 1 ta có:

Bài 2 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5)

Hình 5

Lời giải:

Áp dụng định lí 1 ta có:

Bài 3 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)

Hình 6

Lời giải:

Áp dụng định lí Pitago ta có:

Áp dụng định lí 3 ta có:

Bài 4 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.7)

Hình 7

Lời giải:

Theo định lí 2 ta có:

Theo định lí 1 ta có:

y 2 = x(1 + x) = 4(1 + 4) = 20

Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Lời giải:

ΔABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và đường cao AH như trên hình.

Theo định lí Pitago ta có:

Mặt khác, AB 2 = chúng tôi (định lí 1)

Theo định lí 3 ta có: chúng tôi = AB.AC

Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Lời giải:

ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.

BC = BH + HC = 1 + 2 = 3

Theo định lí 1: AB 2 = chúng tôi = 1.3 = 3

Theo định lí 1: AC 2 = chúng tôi = 2.3 = 6

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.

Bài 7 (trang 69-70 SGK Toán 9 Tập 1): Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Lời giải:

– Cách 1: (h.8)

Theo cách dựng, ΔABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó ΔABC vuông tại D.

Đây chính là hệ thức (2) hay cách vẽ trên là đúng.

– Cách 2: (h.9)

Theo cách dựng, ΔDEF có đường trung tuyến DO bằng một nửa cạnh EF, do đó ΔDEF vuông tại D.

Đây chính là hệ thức (1) hay cách vẽ trên là đúng.

Bài 8 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x và y trong mỗi hình sau:

Lời giải:

a) Theo định lí 2 ta có:

b) Vì đường cao chia cạnh huyền thành hai nửa bằng nhau nên nó đồng thời là đường trung tuyến. Mà trong tam giác vuông, đường tuyến bằng nửa cạnh huyền nên nên x = 2.

Theo định lí Pitago ta có:

Bài 9 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng

không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông ADI và CDL có:

AD = CD (cạnh hình vuông)

Nên ΔADI = ΔCDL (cạnh góc cuông và góc nhọn)

Suy ra DI = DL hay ΔDIL cân. (đpcm)

b) Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo định lí 4, ta có:

không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. (đpcm)

Giải Toán 9 Bài 4. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông

$4. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Tóm tắt kiến thức Các hệ thức Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng : Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề ; Cạnh góc TJông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = asinC = acosB c = btgC = bcotgB Giải tam giác vuông Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại. B. Ví dụ giải toán A Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A biết B = 57° và AC = 3,5. Nhận xét. ơ trên ta đã tính BC bằng cách lấy AC (đã cho) chia cho sin B (góc B đã cho). Kết quả sẽ chính xác hơn là tính BC qua các kết quả trung gian. Ví dụ nếu tính BC theo định lí Py-ta-go, BC2 = AB2 + AC2 thì phải dùng số đo của AB " 2,3, đó là một số gần đúng, kết quả có thể kém chính xác hơn. Ví dụ 2. Tam giác ABC có AB = 4 ; AC = 3. Tính diện tích tam giác này trong hai trường hợp : a) Â = 60° ; b) Â = 120°. Giải. Vẽ CH ± AB. Trong cả hai trường hợp ta đều có CAH = 60°. Bài 26 Bài 27 Hình a Hình c Ta có CH = chúng tôi 60° = chúng tôi 60° ~ 2,6. Diện tích AABC là : s = ị chúng tôi " ị .4.2,6 = 5,2 (đvdt). 2 2 Nhận xét. Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được rằng : Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 'ABC = - chúng tôi A (nếu góc A nhọn). = - chúng tôi sin(l 80° - A) (nếu góc A tù). c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa HD. Chiều cao của tháp là chúng tôi 34° -58 (m) (h.a) B = 90° - 30° = 60°. AB = chúng tôi c = chúng tôi 30° " 5,774 (cm) ; AC 1 (ì BC = " 11,547 (cm). cosC cos30° (h.b) B = 90° - 45° = 45°. AB 10 sinC sin 45° (h.c) C = 90° - 35° = 55°. AB = chúng tôi B = chúng tôi 35° " 16,383 (cm); AC = chúng tôi B = chúng tôi 35° " 11,472 (cm). AC 18 tgB = -9^ = 77 " 0,8571 AB 21 BC = B "41°; C "49°. AC 18 27,437 (cm). sinB sin41° Nếu tính theo định lí Py-ta-go thì Bài 28. Bài 29. Bài 30. Bài 31. BC - V2Ĩ +18 " 27,659 (cm). Hình d Kết quả này chính xác hơn vì khi tính toán, ta dùng ngay các số liệu đã cho mà không dùng kết quả trung gian. 4 HD. cos a = 250 320 a "38 37'. Vẽ BK 1 AC, ta được KBC = 60° và KBA = 60° - 38° = 22°. Xét AKBC vuông tại K có : BK = chúng tôi c = 1 chúng tôi 30° = 5,5 (cm). Xét AKBA vuông tại K có : .-"'C 11 BK 5,5 AB = 5,932 (cm). cos 22° cos 22° Xét AABN vuông tại N có AN = AB.sin38° " 5,932.sin38° " 3,652 (cm). Xét AANC vuông tại N có AC = AN _ ~ 75304 (cm). sinC sin 30° Xét AABC vuông tại B có : AB = chúng tôi c = chúng tôi 54° " 6,472 (cm). Vẽ AH ± CD. Xét AACH có : B AH = chúng tôi c = chúng tôi 74° " 7,690 (cm). Xét AAHD vuông tại H có : AH 7,690 sin D = AD ~ 9,6 Nhận xét. Để tính được số đo của góc D, ta đã vẽ AH -L CD. Mục đích của việc vẽ đường phụ này là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài hai cạnh và có góc D là một góc nhọn của nó. Từ đó tính được một tỉ số lượng giác của góc D rồi suy ra số đo của góc D. Bài 32. Gọi AB là đoạn đường mà con thuyền đi được trong 5 phút, BH là chiều rộng của khúc sông, -ỉ- h là 12 Xét AABH vuông tại H, biết cạnh huyền AB và một góc nhọn thì có thể tính được BH. Quãng đường thuyền đi trong 5 phút AB = 2.-^- = ị (km). 12 6 157 m. Chiều rộng khúc sông là : BH = chúng tôi A - - sin 70° " 0,1566 (km) 6 D. Bài tập luyện thêm Giải tam giác ABC vuông tại A biết: BC = 6,3 ; C = 40° ; AB = 4,5 ; AC = 5,3. Tam giác ABC có B = 70° ; C = 50°, đường cao AH = 3,0. Tính diện tích tam giác ABC. Cho hình bình hành ABCD có AB = 5,2 ; BC = 3,5 và B = 75°. ' Tính diện tích hình bình hành. Tam giác ABC có BC = 8,4 ; B = 65° ; C = 40°. Tính chu vi tam giác ABC. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô' a) B =50°; AB " 4,0 ; AC " 4,8. b)tgc= ±1 "tg40° BH " 1,1 ; CH " 2,5, do đó BC " 3,6 3. 4. (Xem hình bên) Vẽ đường cao CH, ta có CH = chúng tôi B = 3,5.sin 75° " 3,4. Diện tích hình bình hành là : s" 5,23,4 = 17,7 (đvdt). Â = 180°-(65°+ 40°) = 75°. Vẽ các đứờng cao AH và BK. Ta có BK = chúng tôi c = 8,4.sin 40° " 5,4. AB=-^-^L,5.6. sin A sin 75° AH = chúng tôi B " 5,6.sin 65° " 5,1. AC = '1 S3 7,9. sinC sin 40° Chu vi tam giác ABC là : 8,4 + 5,6 + 7,9 = 21,9. Nhận xét : Việc vẽ thêm các đường cao AH và BK tạo điều kiện vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các cạnh của tam giác.

Bài Tập Hệ Thức Về Góc Và Cạnh Trong Tam Giác Vuông Có Đáp Án

Bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông có đáp án

Bài 1: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3,8 cm ; góc B bằng 51 0

Bài 2: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 2,7 cm; AC = 3,5 cm

Bài 3: Giải tam giác ABC, biết AB = 4 cm; góc B bằng 60 0, góc C bằng 45 0

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, BC = a; CA = b; AB = c. Chứng minh rằng:

a = b.cos⁡C + c.cosB

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 90 0. Chứng minh rằng AB 2 = 4AC.BD

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD (D ∈ BC). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của D trên AB, AC. Chứng minh rằng

chúng tôi = chúng tôi + FA.FC

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

góc C bằng 39 0; AC = 4,7 cm; BC = 6 cm

Bài 2:

BC = 4,4 cm

Bài 3:

Vẽ đường cao AH

AH = 2√3 cm; BH = 2cm; CH = 2√3 cm

BC = BH + CH = 2 + 2√3 (cm)

Bài 4:

Vẽ đường cao AH, điểm H nằm giữa B và C (vì tam giác ABC nhọn)

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

BH = chúng tôi = c.cosB

Xét tam giác ACH vuông tại H có:

CH = chúng tôi = b.cosC

⇒ a = BH + CH = chúng tôi + b.cosC

Bài 5:

Kẻ OJ ⊥ AB tại O; OK ⊥ CD tại K

⇒ OJ

ΔCJO cân tại J

Lại có:

Xét ΔACO và ΔKCO có:

CO : cạnh chung

⇒ ΔACO = ΔKCO (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AC = CK; KO = AO = ½ AB ( O là trung điểm của AB)

Chứng minh tương tự, ta có: KD = DB

Xét tam giác vuông COD có:

KO 2 = chúng tôi = AC.BD

Bài 6:

Xét tam giác ADB vuông tại D có DE là đường cao nên

Xét tam giác ADC vuông tại D có DF là đường cao nên

Xét tam giác ABC vuông tại A có AD là đường cao nên

Do đó: chúng tôi + chúng tôi = DC.DB

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

chuong-1-he-thuc-luong-trong-tam-giac-vuong.jsp

Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 4: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông

Sách giải toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 85: Viết các tỉ số lượng giác của góc B và góc C. Từ đó hãy tính mỗi cạnh góc vuông theo:

a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C;

b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

Lời giải

sinB = b/a; cosB = c/a; tgB = b/c; cotgB = c/b

sinC = c/a; cosC = b/a; tgC = c/b; cotgB = b/c

a) b = a.(b/a) = chúng tôi = a.cosC

c = a. (c/a) = chúng tôi = a.sinC

b) b = c. (b/c) = chúng tôi = c.cotgC

c = b.(c/b) = b.cotgB = b.tgC

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 87: Trong ví dụ 3, hãy tính cạnh BC mà không áp dụng định lý Py-ta-go.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 87: Trong ví dụ 4, hãy tính các cạnh OP, OQ qua côsin của các góc P và Q.

Xét tam giác OPQ vuông tại O

OP = chúng tôi = chúng tôi 36 o ≈ 5,66

OQ = chúng tôi = chúng tôi 54 o ≈ 4,11

Bài 26 (trang 88 SGK Toán 9 Tập 1): Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34o và bóng của một tháo trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)

Lời giải:

Kí hiệu đỉnh như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

Vậy chiều cao tòa nhà là 58m.

Bài 27 (trang 84 SGK Toán 9 Tập 1): Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng

Lời giải:

( Lưu ý: ΔABC vuông tại A nên ∠B + ∠C = 90 o

Giải tam giác tức là đi tìm số đo các cạnh và các góc còn lại.)

a)

c = chúng tôi = chúng tôi 30 o ≈ 5,77 (cm)

b)

c)

b = asinB = 20.sin35 o ≈ 11,47 (cm)

c = asinC = 20.sin55 o ≈ 16,38 (cm)

d)

( Ghi chú: Bạn nên sử dụng các kí hiệu cạnh là a, b, c (thay vì BC, AC, AB) để đồng bộ với đề bài đã cho.

Cách để nhớ các cạnh là: cạnh nào thiếu chữ cái nào thì chữ cái đó là kí hiệu của cạnh đó. Ví dụ: cạnh AB thiếu chữ cái C nên c là kí hiệu của cạnh.

hoặc cạnh đối diện với góc nào thì đó chính là kí hiệu của cạnh. Ví dụ: cạnh đối diện với góc B là cạnh b (chính là cạnh AC))

Bài 28 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

Bài 29 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc α trong hình 32)

Lời giải:

Dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc là:

Bài 30 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, ∠ABC = 38o, ∠ACB = 30o. Gọi điểm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:

a) Đoạn thẳng AN

b) Cạnh AC

Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC.

Lời giải:

Kẻ BK ⊥ AC (K ∈ AC).

Trong tam giác vuông BKC có:

Bài 31 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6 cm, ∠ABC = 90o, ∠ACB = 54o và ∠ACD = 74o.

Hãy tính:

a) AB

b) ∠ADC

Hình 33

Lời giải:

a) AB = chúng tôi = 8.sin54 o = 6,47 (cm)

b) Trong tam giác ACD, kẻ đường cao AH.

Ta có: AH = AC . sinACH = 8.sin74 o 7,69 (cm)

Bài 32 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70o. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét)

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ, trong đó:

AB là chiều rộng của khúc sông (cũng chính là đường đi của thuyền khi không có nước chảy).

AC là đoạn đường đi của chiếc thuyền (do nước chảy nên thuyền bị lệch).

Theo đề bài: v = 2km/h ; t = 5 phút = 1/12 h

Vậy chiều rộng khúc sông là 0,1566 km = 156,6 m.

Cập nhật thông tin chi tiết về Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!