Xu Hướng 3/2024 # Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng # Top 7 Xem Nhiều

Bạn đang xem bài viết Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng được cập nhật mới nhất tháng 3 năm 2024 trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Hình 1. Hình chiếu của đường lên mặt

Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.

Để tìm hình chiếu $Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ ta tiến hành các bước sau

Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha  right)$ chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( P right)$ là ${vec n_P}$ và ${vec u_d}.$

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $Delta  = left( alpha  right) cap left( P right).$

 

Ví dụ.

Cho $left( d right):left{ begin{array}{l} x = 1 – t\ y = 2 + 2t\ z =  – 1 – t end{array} right.$ và  $left( P right):x – y + z – 1 = 0.$ 

Viết phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.

 

 

Giải. Bước 1. Gọi $left( alpha  right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( alpha right)$ là ${vec u_d} = left( { – 1;2; – 1} right),{vec n_P} = left( {1; – 1;1} right)$. Suy ra ${vec n_alpha } = left[ {{{vec u}_d},{{vec n}_P}} right] = left( {1;0 – 1} right).$ Chọn $Mleft( {1;2; – 1} right) in d subset left( alpha  right).$

Phương trình của mặt phẳng $left( alpha  right)$ là $left( {x – 1} right) + 0left( {y - 2} right) – 1left( {z + 1} right) = 0 Leftrightarrow x – z – 2 = 0.$

Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ là $Delta  = left( alpha  right) cap left( P right).$

Do đó phương trình tổng quát của $Delta$ là $left( Delta  right):left{ begin{array}{l} x – y + z – 1 = 0\ x – z – 2 = 0 end{array} right..$

Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $Delta$ là ${vec n_1} = left( {1, – 1;1} right),{vec n_2} = left( {1,0; – 1} right) Rightarrow {vec u_Delta } = left[ {{{vec n}_1},{{vec n}_2}} right] = left( {1;2;1} right).$ Từ phương trình tổng quát của $Delta$ ta thay $x = 0 Rightarrow y =  – 3,z =  – 2 Rightarrow Aleft( {0; – 3; – 2} right) in Delta .$

Suy ra phương trình tham số của $Delta$ là $$left( Delta  right):left{ begin{array}{l} x = t\ y =  – 3 + 2t\ z =  – 2 + t end{array} right..$$

 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng

Để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng (P) cho trước thì trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với chúng ta 02 cách làm. Đó là cách làm theo kiểu tự luận và công thức trắc nghiệm nhanh. Tuy nhiên cách giải tự luận sẽ giúp chúng ta hiểu rõ bản chất, còn công thức giải nhanh thì có thể quên bất cứ khi nào.

Bài toán:

Cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0$ và một điểm $M(x_0;y_0;z_0)$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Đường thẳng d có phương trình là: $left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ctend{array}right.$

Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là H. Ta sẽ có H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Tọa độ điểm H chính là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ct\Ax+By+Cz+D=0end{array}right.$

Ví dụ 1: Cho điểm $M(1;2;3)$ và mặt phẳng (P) có phương trình là: $2x+3y-z+9=0$. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $vec{n}(2;3;-1)$

Gọi d là đường thẳng di qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đo đường thẳng d sẽ nhận $vec{n}(2;3;-1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t end{array}right.$

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó điểm H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình sau:

$left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t\2x+3y-z+9=0 end{array}right.$

Vậy tọa độ điểm H là: $H(-1;-1;4)$

Phương pháp 2: Áp dụng công thức tính nhanh tọa độ hình chiếu của điểm

Công thức tính nhanh tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$

Với $k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

Tại sao có công thức này thì thầy có thể giải thích như sau:

Theo cách làm ở phương pháp 1 thì tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll}x=x_0+Ak\y=y_0+Bk\z=z_0+Ck\Ax+By+Cz+D=0end{array}right. kin R$

Thay 3 phương trình đầu tiên trong hệ vào phương trình thứ 4 ta sẽ có:

$A(x_0+Ak)+B(y_0+Bk)+C(z_0+Ck)+D=0$

$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

Với k được xác định như vậy đó.

Mặt phẳng (P): $2x+3y-z+9=0$ có $A=2; B=3; C=-1$

Tọa độ điểm $M(1;2;3)$

$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

Tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$

Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là $H(-1;-1;4)$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Cách Tìm Hình Chiếu Của Một Điểm Lên Đường Thẳng, Mặt Phẳng Cực Hay

Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng cực hay A. Phương pháp giải

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

– Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)

– Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chi phương .

+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :

Vậy H là hình chiếu của A trên d và

Chọn A.

Ví dụ: 2

Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

A. ( 2; 1; 0)

B. ( – 2;0; 1)

C.(-1; 0; 0)

D. ( 0; 2; 1)

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= – 1 nên H ( – 1; 0; 0)

Chọn C.

Ví dụ: 3

Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng . Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 5; – 3; 4)

C. ( -2; 1;3)

D. ( 1;1;3)

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của d là:

Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi

⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

Chọn B.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. ( -1;3; 0)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( – 2; -1; 1)

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -1; 2; -2)

Hướng dẫn giải

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Thay x= – 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0

⇔ – 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0

⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= – 1 nên H( -2; 0; 2)

Chọn C.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.( 1; 0; – 2)

B. ( -2; 1; 1)

C. ( 1; 2; 3)

D. (- 1; 0; 6)

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t) . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

– ( – t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y – 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

A. ( 3; -3; 0)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

1+ t – 2( 1- 2t) – 4= 0 hay t= 1

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) trên đường thẳng

A. ( -2; 0; 1)

B. ( 2; -1;- 5)

C. ( 0;3;-3)

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d có vecto chi phương .

Chọn B.

Câu 2:

Cho M( 0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?

A. – 2

B. 6

C. – 4

D. 4

Hiển thị lời giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Phương trình của d là:

Chọn D.

Câu 3:

Cho điểm M ( – 2; 1; – 2) và đường thẳng Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 0; 2; 2)

C. ( – 1; 2; 0)

D. (0; 1; 0)

Hiển thị lời giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. (1; 0; -2)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( – 2; -1; 1)

Hiển thị lời giải

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -3; 1; 0)

Hiển thị lời giải

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( 1; 0; 2). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.

B. ( -2; 1; 1)

C.

D. ( 2; 2; 1)

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x – 2y- 3z – 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

A. ( 4; – 3; – 5)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Hiển thị lời giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

Chọn A.

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Góc Giữa Hai Đường Thẳng; Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng A. Phương pháp giải

– Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương

Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Trục Ox có vecto chỉ phương

Cosin góc giữa d và Ox là:

Chọn B.

Ví dụ: 2

Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là:

d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Cosin góc giữa d và d’ là:

Chọn D.

Ví dụ: 3

Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:

Chọn A.

Ví dụ: 4

Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương .

Chọn C.

Ví dụ: 5

Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

A. m= 2

B. m = – 4

C. m= (- 1)/2

D. m= 1

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương

Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương

Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn C.

Ví dụ: 6

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là ?

A. m= ± 1

B.m= ± 2

C. m= 0

D. m= ± 3

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Theo giả thiết ta có:

Chọn A.

Ví dụ: 7

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để

A. m= 1

B.m= – 1

C. m= – 2

D. m= -1 hoặc m= -7

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Theo giả thiết ta có:

Chọn D.

Ví dụ: 8

Cho đường thẳng ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình mặt phẳng (ABC):

Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến .

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương .

Chọn A.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt , sao cho cosin góc giữa d và là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ 1 là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Đường thẳng Δ 2 có vectơ chỉ phương

Khi đó; M( 1; 2; – 2) và

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng và (P):x+y-z+2=0?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:

Chọn C.

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz; gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?

A. ( -3; 0; 4)

B. ( 3; 0; 2)

C. ( -1; -2; -1)

D. ( 1;2;1)

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng này?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương .

Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(-1; 2; 0); B( 2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x- y+ z- 2= 0. Sin góc của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là . Tính a?

A . 5

B.10

C. 8

D. 7

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:

Chọn B

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 5= 0 và M( 1; -1; 0). Đường thẳng Δ đi qua điểm M, cắt d và tạo với mặt phẳng (P) một góc thỏa mãn sin (Δ; (P))= 0,5

A.

B.

C.

D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua A( 3; -1; 1) nằm trong mặt phẳng (P): x- y+ z- 5= 0 đồng thời tạo với một góc 45 o. Phương trình đường thẳng d là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A( 1; -1; 2) , song song với (P): 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng một góc α sao cho cosα đạt giá trị nhỏ nhât. Phương trình đường thẳng d là.

A.

B.

C.

D.

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A( -2; 0; 0), đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45 o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

A. ( 2;2; 1) hoặc ( 2;- 2; 1)

B . ( 2; -1;0) hoặc ( 2; 1;0)

C. ( 1;2; 0) hoặc ( – 2; 1;0)

D. ( 2; 2; 0) hoặc ( 2; -2; 0)

Hiển thị lời giải

Trục Oy có vectơ chỉ phương là

Đường thẳng d có vecto chỉ phương .

+ Với m= 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương

+Với m = -2 đường thẳng d có vecto chỉ phương

Chọn D.

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng I. Lý thuyết 1. Định nghĩa:

Nếu đường thẳng a vuông góc với (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 .

Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P).

Kí hiệu: $widehat {left( {a,(P)} right)}$.

Chú ý: $widehat {left( {a,(P)} right)} = widehat {left( {a,a’} right)}$ với a’ là hình chiếu của a trên (P).

Hệ quả:

${0^0} le widehat {left( {a,(P)} right)} le {90^0}.$

$widehat {left( {a,(P)} right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi a//(P) hoặc $a subset (P)$.

$widehat {left( {a,(P)} right)} = {90^0} Leftrightarrow a bot (P).$

2. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Phương pháp 1. (Phương pháp hình học)

+ Tìm $I=dcap (P)$

+ Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)

+ $(d,(P))=widehat{AIH}$

Phương pháp 2. (Phương pháp vec tơ)

+ Gọi $overrightarrow u = (a;b)$ là véc tơ chỉ phương của đướng thẳng a.

+ Gọi $overrightarrow n = (A;B)$ là véc tơ pháp tuyến của (P).

II.Ví dụ minh họa A. Sử dụng phương pháp hình học Ví dụ 1.

Cho hình chóp chúng tôi đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=asqrt{6}$. Tính sin của góc giữa:

a). SC và (SAB)

b). AC và (SBC)

Giải

a).Ta có: $BCbot ABtext{ (gt)}$ và $SAbot BC$ (vì $SAbot (ABCD)$)$Rightarrow $$BCbot (SAB)$ do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB) $Rightarrow (SC,(SAB))=widehat{BSC}$. Ta có: $begin{align}

  & Rightarrow sin (SC,(SAB))=sin widehat{BSC}= \

 & =frac{BC}{SC}=frac{a}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}$

b) Trong mp(SAB) kẻ $AHbot SBtext{ (H}in text{SB)}$. Theo a) $BCbot (SAB)Rightarrow AHbot BC$ nên $AHbot (SBC)$ hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC) $Rightarrow (AC,(SBC))=widehat{ACH}$.

+ Xét tam giác vuông SAB có: $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}=frac{7}{6{{a}^{2}}}Rightarrow AH=a.sqrt{frac{6}{7}}$

+ Vậy $sin (AC,(SBC))=sin widehat{ACH}=frac{AH}{AC}=frac{sqrt{21}}{7}$

Ví dụ 2.

Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $(SAB)bot (ABCD)$, H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải

+ Ta có: $AH=frac{1}{2}AB=frac{a}{2},$ $SA=AB=a$, $SH=HC=sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=frac{asqrt{5}}{2}$.

Vì $S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}=frac{5{{a}^{2}}}{4}=A{{H}^{2}}$ nên tam giác SAH vuông tại A hay $SAbot AB$ mà $(SAB)bot (ABCD)$ . Do đó, $SAbot (ABCD)$ và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD).

+ Ta có: $(SC,(ABCD))=widehat{SCA}$, $tan widehat{SCA}=frac{SA}{AC}=frac{sqrt{2}}{2}$. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng $frac{sqrt{2}}{2}$.

Ví dụ 3.

Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 75°

Giải

Gọi H là trung điểm của BC suy ra: $AH = BH = CH = frac{1}{2}BC = frac{a}{2}$.

Ta có: $SH bot (ABC) Rightarrow SH = sqrt {S{B^2} – B{H^2}} = frac{{asqrt 3 }}{2}$

$widehat {(SA,(ABC))} = widehat {SAH} = alpha $

$ Rightarrow tan alpha = frac{{SH}}{{AH}} = sqrt 3 Rightarrow alpha = {60^0}$.

Vậy chọn: A.

Ví dụ 4.

Cho hình chóp chúng tôi , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .

A. 30°                B. 45°                C. 60°               D.90°

Giải

Ta có: $SA bot (ABCD) Rightarrow SA bot AC$

$ Rightarrow widehat {(SC,(ABCD))} = widehat {SCA} = alpha $

Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên $AC = asqrt 2 ,SA = frac{{asqrt 6 }}{3}$

$ Rightarrow tan alpha = frac{{SA}}{{AC}} = frac{{sqrt 3 }}{3} Rightarrow alpha = {30^0}$

Vậy chọn A.

Ví dụ 5.

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 60°               B.90°               C. 45°                D. 30°

Giải

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) =$widehat {SAH}$

Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH

Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ $widehat {SAH}$ = 45°

B. Sử dụng phương pháp véc tơ

(Xem phần 2)

III. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a ; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD) . Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD)

A. 30°               B.45°               C. 60°                D. 90°

Câu 2. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC . Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 30°               B.45°               C. 60°                D. 75°

Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:

A. 45°                  B. 120°                  C. 90°                  D. 65°

Câu 4. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $alpha = {60^0}$                   B. $alpha = {30^0}$                  

C. $cos alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$                  D. $sin alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$

Câu 5. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = ${asqrt 6 }$. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A. $alpha = {60^0}$                   B. $alpha = {30^0}$                  

C. $ alpha ={45^0} $                  D. $cos alpha = frac{{sqrt 3 }}{3}$

Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $alpha = {30^0}$                   B. $alpha = {45^0}$                  

C. $tan alpha = frac{2}{{sqrt 3 }}$                  D. $tan alpha = sqrt 2 $

Câu 7. Cho hình chóp chúng tôi đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là?

A. $tan beta = sqrt 2 $                   B. $tan beta = sqrt 5 $                 

C. $tan beta = 3 $                  D. $tan alpha = 2 $

Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 600 . Tính độ dài SA?

A. $SA = asqrt 5 $                 B. $SA = asqrt 3 $             

C. $SA = asqrt 15 $                  D. $SA = asqrt 13 $

Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 .

A. $SA = asqrt 5 $                 B. $SA = asqrt 3 $             

C. $SA = asqrt 6 $                  D. $SA = asqrt 2 $

Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc $widehat {ACB} = {30^0}$, AC=2a. Tính $tan alpha $ góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).

A. $tan alpha = frac{{sqrt 5 }}{2}$                 B. $tan alpha = frac{{sqrt 6 }}{2}$            

C. $tan alpha = frac{{1 }}{2}$                  D. $tan alpha = frac{{sqrt 3 }}{2}$

———————————-

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng-p2.

Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p1.

Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p2.

Hai Đường Thẳng Vuông Góc

Tuần 2 soạn: 16/8/20123 Ngày dạy: 22/8/2012

§2 . hai đường thẳng vuông gócI. Mục tiêu– Kiến thức: Giải thích được thế nào là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Hiểu đường trung trực của đoạn thẳng. Công nhận tính chất: Có duy nhất một đường thẳng b đi qua Avà vuông góc với đường thẳng a cho trước– Kĩ năng: Vẽ hai đường thẳng vuông góc. Bước đầu tập suy luận.– Thái độ: Giáo dục sự cẩn thận trong học tập.II. Trọng tâmThế nào là hai đường thẳng vuông góc, đường trung trực của đoạn thẳngIII. Chuẩn bị GV: Giấy dời, thước thẳng, eke, máy chiếu HS: Giấy dời, thước thẳng, ekeIV. Hoạt động dạy học1: Kiểm tra (6′) Cho aa’ cắt bb’ tại O. Chỉ ra các cặp góc bằng nhau. Nếu 600 tìm số đo các góc còn lại2: Giới thiệu bài(1′) Thế nào là hai đường thẳng vuông góc? 3: Giảng bài

TgHoạt động của thầyHoạt động của tròNội dung

9′

. Gọi học sinh đứng tại chỗ suy luận

. Khi nào xx’ yy’. Giới thiệu các cách nói hai đường thẳng vuông góc

HĐ2

. Có mấy vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng

. Hướng dẫn cách vẽ đường vuông góc bằng thước thẳng và eke

HĐ3. Cho AB, I là trung điểm của AB, d AB tại I

. Đường trung trực của đoạn thẳng phải thoả mãn mấy điều kiện?.Nêu cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng

. Gấp giấy theo hướng dẫn

. Vì và là hai góc đối đỉnh nên 900

. 2 điều kiện là vuông góc và đi qua trung điểm

. Xác định trung điểm của đoạn thẳng rồi vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm1: Thế nào là hai đường thẳng vuông góc?1. Hai nếp gấp cắt nhau tạo ra 4 góc có số đo bằng 900?2. Vì và là hai góc đối đỉnh nên 900Vì và là hai góc kề bù nên 1800 1800-900=900*ĐN: SGK trang 84KH: xx’yy’2: Vẽ hai đường thẳng vuông góc?3

?4

* Tính chất: SGK trang 853: Đường trung trực của đoạn thẳng

* ĐN : SGKTa còn nói A đối xứng với B qua d hay A và B đối xứng với nhau qua d

4: Củng cố, luyện tập: (12′)– Nhắc lại định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất đường vuông gócBài 11a,Hai đường thẳng vuông góc với nhau là hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có một

Cập nhật thông tin chi tiết về Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!