Bạn đang xem bài viết Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng được cập nhật mới nhất trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Hình 1. Hình chiếu của đường lên mặt
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
Để tìm hình chiếu $Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( P right)$ là ${vec n_P}$ và ${vec u_d}.$
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $Delta = left( alpha right) cap left( P right).$
Ví dụ.
Cho $left( d right):left{ begin{array}{l} x = 1 – t\ y = 2 + 2t\ z = – 1 – t end{array} right.$ và $left( P right):x – y + z – 1 = 0.$
Viết phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.
Giải. Bước 1. Gọi $left( alpha right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( alpha right)$ là ${vec u_d} = left( { – 1;2; – 1} right),{vec n_P} = left( {1; – 1;1} right)$. Suy ra ${vec n_alpha } = left[ {{{vec u}_d},{{vec n}_P}} right] = left( {1;0 – 1} right).$ Chọn $Mleft( {1;2; – 1} right) in d subset left( alpha right).$
Phương trình của mặt phẳng $left( alpha right)$ là $left( {x – 1} right) + 0left( {y - 2} right) – 1left( {z + 1} right) = 0 Leftrightarrow x – z – 2 = 0.$
Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ là $Delta = left( alpha right) cap left( P right).$
Do đó phương trình tổng quát của $Delta$ là $left( Delta right):left{ begin{array}{l} x – y + z – 1 = 0\ x – z – 2 = 0 end{array} right..$
Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $Delta$ là ${vec n_1} = left( {1, – 1;1} right),{vec n_2} = left( {1,0; – 1} right) Rightarrow {vec u_Delta } = left[ {{{vec n}_1},{{vec n}_2}} right] = left( {1;2;1} right).$ Từ phương trình tổng quát của $Delta$ ta thay $x = 0 Rightarrow y = – 3,z = – 2 Rightarrow Aleft( {0; – 3; – 2} right) in Delta .$
Suy ra phương trình tham số của $Delta$ là $$left( Delta right):left{ begin{array}{l} x = t\ y = – 3 + 2t\ z = – 2 + t end{array} right..$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Góc Giữa Hai Đường Thẳng; Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
A. Phương pháp giải
– Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương
Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ: 1
Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Trục Ox có vecto chỉ phương
Cosin góc giữa d và Ox là:
Chọn B.
Ví dụ: 2
Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?
Hướng dẫn giải
Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là:
d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Cosin góc giữa d và d’ là:
Chọn D.
Ví dụ: 3
Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:
Chọn A.
Ví dụ: 4
Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương
+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương .
Chọn C.
Ví dụ: 5
Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
A. m= 2
B. m = – 4
C. m= (- 1)/2
D. m= 1
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương
Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương
Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
Chọn C.
Ví dụ: 6
Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là ?
A. m= ± 1
B.m= ± 2
C. m= 0
D. m= ± 3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
Theo giả thiết ta có:
Chọn A.
Ví dụ: 7
Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để
A. m= 1
B.m= – 1
C. m= – 2
D. m= -1 hoặc m= -7
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
Theo giả thiết ta có:
Chọn D.
Ví dụ: 8
Cho đường thẳng ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Phương trình mặt phẳng (ABC):
Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0
Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến .
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương .
Chọn A.
Ví dụ: 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt , sao cho cosin góc giữa d và là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ 1 là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
Đường thẳng Δ 2 có vectơ chỉ phương
Khi đó; M( 1; 2; – 2) và
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng và (P):x+y-z+2=0?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:
Chọn C.
Câu 2:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz; gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?
A. ( -3; 0; 4)
B. ( 3; 0; 2)
C. ( -1; -2; -1)
D. ( 1;2;1)
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng này?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương .
Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương
Chọn B.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(-1; 2; 0); B( 2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x- y+ z- 2= 0. Sin góc của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là . Tính a?
A . 5
B.10
C. 8
D. 7
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:
Chọn B
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 5= 0 và M( 1; -1; 0). Đường thẳng Δ đi qua điểm M, cắt d và tạo với mặt phẳng (P) một góc thỏa mãn sin (Δ; (P))= 0,5
A.
B.
C.
D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua A( 3; -1; 1) nằm trong mặt phẳng (P): x- y+ z- 5= 0 đồng thời tạo với một góc 45 o. Phương trình đường thẳng d là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A( 1; -1; 2) , song song với (P): 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng một góc α sao cho cosα đạt giá trị nhỏ nhât. Phương trình đường thẳng d là.
A.
B.
C.
D.
Câu 8:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A( -2; 0; 0), đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45 o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:
A. ( 2;2; 1) hoặc ( 2;- 2; 1)
B . ( 2; -1;0) hoặc ( 2; 1;0)
C. ( 1;2; 0) hoặc ( – 2; 1;0)
D. ( 2; 2; 0) hoặc ( 2; -2; 0)
Hiển thị lời giải
Trục Oy có vectơ chỉ phương là
Đường thẳng d có vecto chỉ phương .
+ Với m= 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương
+Với m = -2 đường thẳng d có vecto chỉ phương
Chọn D.
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp
Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Cực Hay
Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cực hay
A. Phương pháp giải
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)
+ Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)
+ Bước 3: Góc ∠AOA’ = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)
Lưu ý:
– Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’
– Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA’.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D
Từ giả thiết suy ra:
SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°
Ví dụ 3: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi H là trung điểm của BC suy ra
AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2
Ví dụ 4: Cho hình chóp chúng tôi , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 60° B.90° C. 45° D. 30°
Hướng dẫn giải
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)
⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH
Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH
Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH
Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°
Chọn C
Ví dụ 6: Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a ; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD) . Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD)
A. 30° B.45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn B
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC . Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 30° B.45° C. 60° D. 75°
Hiển thị lời giải
AM = BM = a/2, SB = a
⇒ ( SA,(ABC)) = (SA, AM) = ∠SAM
Áp dụng định lý Pytago
Xét tam giác SAM có
Vậy chọn C
Câu 2: Cho hình chóp chúng tôi có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α, khi đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:
A. 45° B. 120° C. 90° D. 65°
Câu 4: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hiển thị lời giải
Lại có: BI ⊥ SA
⇒ BI ⊥ (SAD)
Câu 5: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√6. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
Hiển thị lời giải
⇒ α = ∠SCA
Chọn D
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Bài 2: Hình Chiếu Vuông Góc
I. Phương pháp chiếu góc thứ nhất (PPCG 1)
1. Xây dựng nội dung
Hình 1. Phương pháp chiếu góc thứ nhất
2. Phương pháp
Chiếu vật thể lên ba mặt phẳng P1, P2, P3 ta thu được các hình chiếu vuông góc tương ứng trên đó là A, B, C:
A: Hình chiếu đứng
B: Hình chiếu cạnh
C: Hình chiếu cạnh
Đường biểu diễn:
Các đường bao thấy sẽ thể hiện bằng nét liền đậm
Các đường khuất sẽ thể hiện bằng nét gạch mảnh (nét đứt)
Các đường tâm, đường trục sẽ thể hiện bằng nét gạch chấm mảnh
3. Vị trí các hình chiếu trên bản vẽ
Nếu ta chọn mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là mặt phẳng bản vẽ, ta sẽ phải xoay P2 và P3 về cùng mặt phẳng với P1 bằng cách:
Xoay P2 xuống phía dưới một góc 90o
Xoay P3 sang phải một góc 90o
Khi đó ta sẽ thu được hình chiếu vuông góc của vật thể trên mặt phẳng bản vẽ
Hình 2. Vị trí các hình chiếu theo PPCG1 Khi đó trên bản vẽ kĩ thuật:
Hình chiếu bằng B đặt dưới hình chiếu đứng A
Hình chiếu cạnh C sẽ đặt bên phải hình chiếu đứng A
II. Phương pháp chiếu góc thứ ba (PPCG 3)
1. Xây dựng nội dung
Hình 3. Phương pháp chiếu góc thứ ba
2. Phương pháp
Chiếu vật thể lên ba mặt phẳng P1, P2, P3 ta thu được các hình chiếu vuông góc tương ứng trên đó là A, B, C:
A: Hình chiếu đứng
B: Hình chiếu cạnh
C: Hình chiếu cạnh
Đường biểu diễn:
Các đường bao thấy sẽ thể hiện bằng nét liền đậm
Các đường khuất sẽ thể hiện bằng nét gạch mảnh (nét đứt)
Các đường tâm, đường trục sẽ thể hiện bằng nét gạch chấm mảnh
3. Vị trí các hình chiếu
Chọn mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là mặt phẳng bản vẽ:
Xoay P2 lên trên một góc 90o
Xoay P3 sang trái một góc 90o
Khi đó ta cũng sẽ thu được hình chiếu vuông góc của vật thể trên mặt phẳng bản vẽ
Hình 4. Vị trí các hình chiếu theo PPCG 3 Khi đó trên bản vẽ kĩ thuật:
Hình chiếu bằng B đặt phía trên hình chiếu đứng A
Hình chiếu cạnh C đặt ở bên trái hình chiếu đứng A
Cập nhật thông tin chi tiết về Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!