Xu Hướng 8/2022 # Chuyên Đề: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số # Top View

Xem 495

Bạn đang xem bài viết Chuyên Đề: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số được cập nhật mới nhất ngày 16/08/2022 trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, bài viết này đã đạt được 495 lượt xem.

Bài Tập Viết Phương Trình Tiếp Tuyến

Phương Trình Tiếp Tuyến Vuông Góc Với Một Đường Thẳng

Nguyễn Anh Tuấn – Giáo Viên Toán Trường Thpt Lê Quảng Chí – Hà Tĩnh

Sáng Kiến Kinh Nghiệm Tham Số Trong Phương Trình Và Bất Phương Trình Vô Tỉ

Chuyên Đề : Các Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT

VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009

MÔN: TOÁN

BIÊN SOẠN: TỔ TOÁN – TT BỒI DƯỠNG VĂN HÓA chúng tôi

CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ

– Giúp các bạn nắm vững về bài toán về viết phương trình tiếp tuyến.

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong mục này ta chỉ trình bày ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán về tiếp xúc, nói riêng trong

Để làm tốt được điều này ta cần chuẩn bị tốt các nội dung sau:

a) Hiểu các công thức cơ bản sau: 0( )tta f x′=

0 0( )( )0y y f x x x′− = −

b) Cần phân biệt rõ hai khái niệm

– Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M nằm trên đường cong

– Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M (có thể M không nằm trên đường cong)

1.1. Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M nằm trên đường cong

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y = 2×3 – 3×2. Biết rằng tiếp tuyến song song

với đường thẳng y = 12x + 1

Bài giải: Gọi hoành độ tiếp điểm là 0x . Khi đó ( )’ 20 06 6tta y x x x= = − 0

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 12x + 1, nên 12tta = ,

hay – 20 06 6 12 ⇔x x− = 20 0 2 0x x− − = ⇔ 0

0

1

2

x

x

= −⎧⎨ =⎩

+ Nếu , khi đó tiếp tuyến phải trên có dạng : 0 1x = − 0 0( )( )0y y f x x x′− = −

Áp dụng vào đây với 0x = – 1, 0 4y = − , ‘0 0( ) 12y f x′= = suy ra

chúng tôi – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

y – (– 4) = 12(x + 1)

hay y = 12x + 8

+ Nếu , khi đó , 0 2x = 0 4y = − ‘0 12y = và tiếp tuyến có dạng

y + 4 = 12(x –2)

hay y = 12x – 28

Trả lời: Có 2 tiếp tuyến phải tìm là y = 12x + 8 hoặc y = 12x – 28

Nhận xét: Trước hết tìm tiếp điểm sau đó sử dụng công thức viết phương trình tiếp tuyến tại M nằm

trên đường cong

1.2. Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M không nằm trên đường cong

Ví dụ: Cho đường cong y = 3x – 4×3 . Viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm

M (1, 3)

Bài giải: – Trước hết có nhận xét sau: Điểm M (1, 3) không nằm trên đường cong đã cho (vì khi x =

1, thì y = – 1). Do vậy nếu ai “máy móc” áp dụng công thức 0 0( )( )0y y f x x x′− = − ở đây là sai

– Khi giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường, người ta sử dụng mệnh đề sau:

Mệnh đề: Hai đường y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm M có hoành độ 0x nếu như hệ sau đây

thoả mãn

( )

( ) ( )

0 0

‘ ‘

0 0

( )f x g x

f x g x

⎧ =⎪⎨ =⎪⎩

Quay trở về bài toán của ta: Gọi tiếp tuyến cần tìm là y = ax + b. Vì tiếp tuyến đi qua M(1,3) nên ta

có: 3 = a + b ⇒ b = 3 – a. Do đó tiếp tuyến phải tìm có dạng: y = ax + 3 – a

Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau:

3

0 0 0

2

0

3 4 ax 3 (

3 12 (2)

1)x x a

x a

⎧ − = + −⎪⎨ − =⎪⎩

Thay (2) vào (1) ta đi đến phương trình sau để xác định 0x

3

08 – 12

2

0x x = 0

0

0

0

3

2

x

x

=⎡⎢⇔ ⎢ =⎣

– Nếu 0x = 0 ⇒ a = 3. Lúc này tiếp tuyến có dạng: y = 3x

chúng tôi – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

– Nếu 0

3

2

x = ⇒ a = – 24. Bây giờ tiếp tuyến có dạng: y = –24x + 27

Trả lời: Qua điểm M (1, 3) có hai tiếp tuyến y = 3x và y = – 24x + 27

Ví dụ: Cho đường cong y = x3 + 2×2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong, biết rằng tiếp

tuyến đi qua điểm M (1, 3)

Vì điểm M (1, 3) nằm trên đường cong y = x3 + 2×2. Vậy áp dụng công thức và phương trình tiếp

tuyến đã học, ta có: 0 0( )( )0y y f x x x′− = − (ở đây 0x = 1, 0y = 3, = 7) ‘ 20 0 0( ) 3 4y f x x x′= = + 0

y – 3 = 7(x – 1) hay y = 7x – 4

Lời giải trên sẽ là đúng, nếu đầu bài viết là: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1, 3) nằm trên

đường cong

Tuy nhiên lời giải đó là chưa đúng với yêu cầu của đầu bài (đòi hỏi tiếp tuyến đi qua M(1,3). Lời

giải đúng như sau :

Tiếp tuyến phải tìm có dạng y = ax + b, trong đó 3 = a + b (do tiếp tuyến đi qua M (1, 3). Vậy y =

ax + 3 – a là dạng của tiếp tuyến.

Gọi 0x là hoành độ của tiếp điểm và ta có hệ sau:

3 2

0 0 0

2

0 0

2 3

3 4 (2)

(1)x x ax a

x x a

⎧ + = + −⎪⎨ + =⎪⎩

Thay (2) vào (1) và có phương trình sau: ( )20 0( 1) 2 3x x− + = 0

– Nếu 0x – 1 = 0⇒ 0x = 1 ⇒ a = 7. Lúc này tiếp điểm có dạng y = 7x – 4

– Nếu 0x =

3

2

− ⇒ a = 3

4

. Lúc này tiếp tuyến có dạng : y = 3 9

4 4

x +

Như thế qua điểm M (1, 3) có hai tiếp tuyến với đường cong đã cho:

y = 7x – 4 và y = 3 9

4 4

x +

Nhận xét: Vì M (1, 3) nằm trên đường cong nên tiếp tuyến đi qua M có hai loại

1) Tại M: Đó là y = 7x – 4

2) Đi qua M mà không tại M: Đó là y = 3 9

4 4

x +

chúng tôi – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

Vì lẽ đó mặc dầu nếu M nằm trên đường cong, nhưng nếu đầu bài đòi hỏi: Viết phương trình tiếp

tuyến đi qua M thì phải giải theo phương pháp sử dụng mệnh đề cơ bản về sự tiếp xúc, nếu máy

móc áp dụng công thức y – 0y = (

0y 0x x− ) thì sẽ mất nghiệm.

Ta có thể hình dung dễ dàng sự kiện này bằng hình ảnh trực giác sau:

Trên hình vẽ cho điểm M nằm trên đường cong y = f(x). Có hai tiếp tuyến

– 1y = ax + b là tiếp tuyến với y = f(x) tại M

– 2y = cx + d là tiếp tuyến với y = f(x) đi qua M nhưng không tại M.

Như vậy trong thí dụ trên qua M có hai tiếp tuyến với y = f(x) (mặc dù M nằm trên đường cong)

1.3. Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng.

Có thể liệt kê ra đây các loại bài toán thông dụng nhất

1. Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc với nhau (được xét riêng bài sau)

2. Bài toán về tiếp tuyến xuất phát từ một điểm

3. Bài toán về tiếp tuyến chung

4. Các bài toán định tính về tiếp tuyến.

Xin đưa ra vài ví dụ mẫu.

Ví dụ: Cho hai đường cong y = x2 – 5x + 6 và y = x3 + 3x – 10. Viết phương trình tiếp tuyến chung.

Bài giải: Gọi y = ax + b là tiếp tuyến chung. Gọi 0x và 1x tương ứng là các tiếp điểm của tiếp tuyến

với y = x2 – 5x + 6 và y = x3 + 3x – 10

Theo mệnh đề cơ bản về tiếp tuyến ta có hệ phương trình sau (có 4 ẩn là a, b, 0 1,x x )

2

0 0 0

0

3

1 1 1

2

1

5 6 (1)

2 5 (2

3 10 ax (3)

3 3 (4

x x ax b

x a

x x b

x a

⎧ − + = +⎪ − =⎪⎪⎨ + − = +⎪⎪ + =⎪⎩

)

)

Từ (2) và (4) suy ra: 2 0x – 5 =

2

13x + 3 hay 0x =

2

13

2

x 8+ (5)

Từ (1) và (2) ta có: b = ⇒ b = 6 – 20 0 0 05 6 (2 5)x x x x− + − − 20x (6)

chúng tôi – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

Thay (5), (6) và (2) vào (3) ta có: 31 13 10x x+ − = ( )21 13 3x x+ + 6 – ( )

22

13 8

4

x +

⇔ 3 21 18 9 48 1x x− − x = 0 = 0 ⇔ 2 21 1 1(9 8x 48)x x − + ⇔ = 0 1x

Vì thế từ (4) có a = 3, rồi từ (5) suy ra 0x = 4. Từ đó theo (6) đi đến b = – 10

Tóm lại hai đường cong đã cho có duy nhất một tiếp tuyến chung. Đó là đường y = 3x – 10

III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC

Bài 1. (Đại học, cao đẳng khối B – Năm 2004)

Cho hàm số y = 3 21 2 3

3

x x− + x ( C)

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng Δ Δ là tiếp tuyến của (C) có

hệ số góc bé nhất.

Bài giải: ‘y = x2 – 4x + 3 , ”y = 2x – 4

”y = 0 khi x = 2 và đạo hàm ”y đổi dấu khi qua x = 2.

Vậy (C) có điểm uốn tại: A 22,

3

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . Khi x = 2 thì ‘y = – 1

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn là: y – 2

3

= – (x – 2) hay y = – x + 8

3

Ta có = -1 (1) tta

Hệ số góc của một tiếp tuyến bất kỳ tại điểm M (có hoành độ x) nằm trên (C) là:

k = ‘y (x) = x2 – 4x + 3. Ta có k = (x – 2)2 – 1 – 1 (2) ≥

Từ (2) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất ⇒ đpcm

Bài 2. (Đại học, cao đẳng khối D – Năm 2005)

Gọi ( ) là đồ thị của hàm số y = mC

3 21

3 2

mx x 1

3

− + , m là tham số

Gọi M là điểm thuộc ( ) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của ( ) tại điểm M

song song với đường thẳng 5x – y = 0

mC mC

chúng tôi – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

Bài giải: y = 3 21 1

3 2

mx x− + ‘

3

⇒ y = x2 – mx tiếp tuyến với ( ) tại M có hệ số góc mC

tta = y (- 1) = 1 + m

Tiếp tuyến này có phương trình y – 0y = (

0y 0x x− )

(ở đây 0x = – 1 = = 1 + m và

oy⇒ tta 0y = – 2

m )

Vậy y +

2

m = (1 + m)(x + 1) hay y = (m + 1)x + 2m

m

+

Đường tiếp tuyến này song song với đường 5x – y = 0 (tức y = 5x), nếu

1 5

2 0

m

m

+ =⎧⎨ + ≠⎩ 4m⇔ =

Vậy có duy nhất giá trị cần tìm của m là m = 4

Chú ý: Hai đường thẳng y = và y = 1a x b+ 1 22a x b+ song song với nhau khi và chỉ khi 1 2

1 2

a a

b b

=⎧⎨ ≠⎩

Vì lý do ấy nếu không có thêm điều kiện m + 2 0≠ thì lời giải của học sinh chưa hoàn chỉnh.

Bài 3. (Đại học, cao đẳng khối B – Năm 2006)

Cho hàm số y =

2 1

2

x x

x

+ −

+ (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này vuông góc với tiệm cận xiên của

(C)

Bài giải: Ta có a =

2

2

( ) 1lim lim

2x x

f x x x

x x x→∞ →∞

+ −= + = 1

b =

2

2

1lim ( ( ) ax) = lim

2x x

x xf x x

x x→∞ →∞

⎛ ⎞+ −− −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

= 1lim

2x

x

x→∞

− −

+ = – 1

Vậy (C) có tiệm cận xiên là: y = x – 1

Dễ thấy ‘y = ( )

2

2

4 3

2

x x

x

+ +

+

.

chúng tôi – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 6

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

Vì tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên y = x – 1 nên = -1 tta

Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) thì : = tta ( )

2

0 2

4 3( )

2

x xy x

x

+ +=

+

Ta có phương trình: ( )

2

0

2

0

4 3 1

2

x x

x

+ + = −

+

⇔ 0

0

22

2

2x 2

2

x

⎡ = − +⎢⎢⎢ = − −⎢⎣

– Khi 0

22

2

x = − + 0 3 2 32y⇒ = − .

Lúc này tiếp tuyến có dạng: 2 2 5y x= − + −

– Tương tự khi 0

2x 2

2

= − − thì tiếp tuyến là 2 2 5y x= − − −

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 2 2 5y x= − + − và 2 2 5y x= − − −

IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y =

2 9x

x

− , biết rằng nó đi qua điểm M(1,8).

Đáp số: y = 2x + 6 và y = 50x – 42

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y = x4 – 4×2, biết rằng nó đi qua điểm M(2, 0)

Đáp số: y = o, y = 16x – 32 và y = 32 64

27 27

x −

Bài 3. Tìm m để đường cong y = 2×3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8 tiếp xúc với trục hoành

Đáp số: m = 35

27

, m = 1, m = 4 + 2 6 và m = 4 – 2 6

Bài 4*. Cho đường cong y = x3 – 3x + 2 (C). Tìm điểm M trên đường thẳng y = – 2, sao cho từ M có

thể vẽ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau

Đáp số: M 55 , 2

27

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

chúng tôi – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 7

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

Bài 5. Cho đường cong y = x2 – 5x + 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong biết rằng nó

song song với đường thẳng y = 3x + 1

Bài 6. Cho y = x2 – 5x + 6 và điểm M (5, 5). Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua M

Bài 7. Cho y = x2 – 3x và y = – 2×2 + 5x. Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường cong.

Nguồn: chúng tôi

chúng tôi – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 8

Phương Trình Tiếp Tuyến Với Đường Cong Y = F(X)

Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn

Phương Trình Tiếp Tuyến Đi Qua Một Điểm

Phương Trình Tiếp Tuyến Song Song Với Một Đường Thẳng

Giới Thiệu Lí Thuyết Galois

Cập nhật thông tin chi tiết về Chuyên Đề: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!