Bạn đang xem bài viết Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ được cập nhật mới nhất trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
1/ Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Khi giải các phương trình ta thường phải dùng các phép biến đổi tương đương.
2/ Một phương trình được gọi là phương trình hệ quả của phương trình cho trước nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình đã cho. Khi giải phương trình, nếu ta dùng phép biến đổi đưa phương trình đã cho về một phương trình hệ quả thì ta phải thử lại.
Phần I 1/ Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Khi giải các phương trình ta thường phải dùng các phép biến đổi tương đương. 2/ Một phương trình được gọi là phương trình hệ quả của phương trình cho trước nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình đã cho. Khi giải phương trình, nếu ta dùng phép biến đổi đưa phương trình đã cho về một phương trình hệ quả thì ta phải thử lại. Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2+bx+c (a khác 0), f(x) có hai nghiệm x1;x2 thoả mãn: x1<<x2 khi và chỉ khi af()<0. f(x) có hai nghiệm trong khoảng khi và chỉ khi : f(x) có một nghiệm nằm trong , nghiệm còn lại nằm ngoài khi và chỉ khi . 4/ Một số kiến thức trong lý thuyết hàm số : Hàm số y=f(x) xác định trên D. Khi đó phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D khi và chỉ khi g(m) thuộc vào tập giá trị của f(x) trên D. Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D, x0 thuộc D sao cho f(x0)=m ( trong đó m là hằng số ) thì phương trình f(x) =m có nghiệm duy nhất trên D. Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D , x0 thuộc D sao cho f(x0)= g(x0) thì phương trình f(x) =g(x) có nghiệm duy nhất trên D. 5/ Nội dung phương pháp cần và đủ : Bài toán đặt ra là : tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) nào đó.Khi giải bài toán này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ ta tiến hành theo các bước sau : Bước 1 : (tìm điều kiện cần) Giả sử phương trình đã cho đã thoả mãn tính chất (P).Ta đi tìm điều kiện ràng buộc của m. Giả sử điều kiên ràng buộc của m là m. Bước2 : (tìm điều kiện đủ) : Với m ta kiểm tra lại xem khi đó phương trình f(x,m)=0 đã thoả mãn tính chất (P) chưa.ở bước này nói chung ta thường thay các giá trị cụ thể của m vào để xét, những giá trị của m mà làm cho phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) là đáp số bài toán. Phần II Một số dạng phương trình vô tỉ thường gặp. Dạng 1 : dùng phép biến đổi tương đương . Thực tế ta hay gặp trường hợp n=1.ở dạng (**) học sinh yếu thường hay mắc sai lầm như sau: đặt điều kiện f(x) sau đó luỹ thừa 2n hai vế của phương trình để khử căn rồi giải phương trình này , sau đó kiểm tra điều kiện f(x) thấy thoả mãn, kết luận đó là nghiệm phương trinh. ở (*) cũng vậy , mặc dù đơn giản nhưng học sinh cũng hay quên điều kiện f(x) hoặc g(x) không âm. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . Dạng 2 : Phương pháp giải dạng này là : tìm tập xác định của phương trình đã cho rồi bình phương hai vế ,thu gọn để quy về dạng I. Khi gặp phương trình dang: học sinh thường mắc sai lầm là: sau khi tìm tập xác định của phương trình đã cho đem bình phương hai vế , thu gọn để quy về dạng I. Trường hợp này rất nhiều khi ta thu được phương trình hệ quả( Do chưa chắc đã có: với mọi x thuộc tập xác định của phương trình). Giáo viên cần lưu ý học sinh điều này. Ta nên hướng dẫn học sinh chuyển sang vế phải để quy về dạng 2. Ví dụ: giải phương trình: HD: Pt có tập xác định là: D= Ta có: Vậy nghiệm phương trình là x=0. Bài tập áp dụng: giải phương trình: III/ Dạng 3: Dùng tính chất của hàm số: Cơ sở lý thuyết: Cho f xác định trên D = (a ;b) f tăng (đồng biến) khi f giảm (nghịch biến) khi Định lý: Nếu f có đạo hàm trên D = (a , b) và f không phải là hằng số thì: f tăng trên D. f giảm trên D. Tính chất: Nếu f đơn điệu thì phương trình f(x0 = 0 có tối đa một nghiệm và nếu chỉ ra được nghiệm thì đó chính là nghiệm duy nhất. Từ đó ta có ứng dụng để giải phương trình hoặc chứng minh sự tồn tại nghiệm. Cách giải: Các vế của phương trình thường chứa các hàm số một biến. Tính chất của hàm số không thể không ảnh hưởng tới cách giải các bài toán đặt ra. Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng các tính chất của hàm số giúp ta tìm được cách giải hợp lý và hiệu quả. *Chú ý: -Trong nhiều trường hợp HS sau khi nhẩm được nghiệm thì vội vàng kết luận tính duy nhất của nghiệm, mà quên đi cơ sở kết luận nghiệm phải dựa vào tính chất của hàm số có mặt trong bài toán đó. -Ta có thể lập bảng biến thiên để giải quyết bài toán dễ dàng hơn. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Ta viết lại phương trình: Và nên Phương trình: (*) Xét nên f nghịch biến. Hơn nữa f(1) = 0 Do đó (*) Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 1 Ví dụ 2: Tìm a để phương trình có nghiệm: Giải: Xét y = f(x) =, D = R thì f là hàm lẻ. Ta có : Đặt nên g đồng biến. Mà Bảng biến thiên: x 0 + y 1 -1 Vậy điều kiện để PT có nghiệm là Ví dụ 3: Giải phương trình: HD: Với phương trình vô tỷ này ta có thể chuyển vế, bình phương rồi khử dấu căn như cách thông thường. Tuy nhiên, nếu ta chú ý đến miền xác định của các hàm số và ta thấy ngay phương trình đã cho chỉ xác định với x = 2. Hơn nữa, x = 2 thoả mãn PT. Vậy nghiệm của PT là x = 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: HD: Đây là một ví dụ về phương trình vô tỉ mà có thể dùng cách giải thông thường là bình phương 2 vế để khử căn. Tuy nhiên ta không vội làm điều đó mà để ý rằng: để PT có nghĩa thì Vậy PT vô nghiệm. Ví dụ 5: giải phương trình Giải. Nếu ta bình phương để khử căn thức thì sẽ được một phương trình bậc 4 đầy đủ, việc giải nó rất phức tạp, nên ta tìm cách giải khác. Trước hết ta để ý rằng x = 3 nghiệm đúng phương trình. Nhưng khác với các ví dụ trước, hàm số ở vế trái không phải là hàm đơn điệu trong miền xác định của nó: . Tuy nhiên nếu ta xét khoảng Thì vế trái là hàm số đơn điệu tăng do đó x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho trong khoảng . Bây giờ ta xét đoạn . Ta có với thì , vế trái nên phương trình không có nghiệm trong đoạn . Đáp số: x=3. Ví dụ 6: giải phương trình: HD: Pt đã cho có tập xác định là: D=. Ta dễ kiểm tra hàm đồng biến trên D. Mà f(2)=3. Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=2. Pt đã cho có tập xác định là: D=. Ta dễ kiểm tra hàm đồng biến trên D, hàm g(x)= nghịch biến trên D . Mà f(0)=g(0). Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . IV.Dạng 4: đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai Ví dụ: giải phương trình: . . . HD: a. Đặt y=.Ta được pt: y2-y-20 = 0 Nghiệm y = -4 bị loại.Với y = 5 ta tìm được các nghiệm x = 6 ; x = -3. Ta được phương trình : y2-y-6=0 Nghiệm y=-2 bị loại. Với y=3 ta được .Trong phần dùng tính đơn điệu của hàm số ta đã tìm được nghiệm duy nhất của pt này là x = 2. Vậy pt ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2. c. Phần này phép đặt ẩn phụ ở phần này được gọi là không hoàn toàn.Cụ thể như sau : Đặt y=. Ta được phương trình : y2-(x+3)y+3x=0 Với y=3 ta được : Với y=x ta được : . PT vô nghiệm. Vậy nghiệm của pt đã cho là : Bài tập áp dụng: giải phương trình: (x+5)(2-x)=3. . . . . . . x+. (4x-1). 2(1-x). V. Dạng 5: các pt vô tỉ quy về pt chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: giải phương trình: . HD: Nhân cả hai vế của phương trình với ta được: Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . VI. Dạng 6: giải pt vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp. Ví dụ: giải phương trình: . Nếu ta dùng phép bình phương để khử căn thì ta thu được pt vẫn còn rất phức tạp, không quy được về các dạng quen thuộc. Khi đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi xem các số liệu trong bài toán có gì đặc biệt. Trong bài tập này ta thấy (4x+1)-(3x-2)=x+3. Do đó ta nghĩ đến việc nhân cả hai vế của pt với liên hợp của vế trái. Lưu ý khi nhân cả hai vế của pt với u(x) ta cần quan tâm xem liệu u(x) có luôn khác 0 trên tập xác định của pt hay không. Nếu có ta phải xét riêng trường hợp này. HD: Pt có tập xác định D = .Ta thấy . Do vậy pt đã cho tương đương với: 5(x+3)=(x+3) (Vì x+3 . Bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số ta tìm được nghiệm duy nhất của pt là x=2. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . 4(x+1)2=(2x+10)(1-2. VII. Dạng 7: phương pháp lượng giác hoá. Ví dụ: giải phương trình: HD: Pt đã cho có tập xác định là: D=[-1;1]. Đặt x=cost , () Ta được pt: 4cos3t-3cost=.Pt này có 3 nghiệm thuộc là: . Do vậy pt đã cho có 3 nghiệm là : Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . VIII. Dạng 8: . Trong đó A = A(x) ; B = B(x) ; C = C(x). Phương pháp giải của dạng này là : lập phương hai vế của pt ta được: A+B+3. Sau đó thế vào pt mới ta thu được: . Ta thu gọn hai vế rồi lập phương một lần nữa quy về pt bậc cao. Ta cần lưu ý cho học sinh các phép biến đổi trên chỉ là phép biến đổi hệ quả. Vì khi thế ta thu được (*). Mà (*) Như vậy khi được nghiệm của phương trình cuối cùng ta phải thay vào pt ban đầu để thử lại. Ví dụ: giải phương trình: HD: Lập phương hai vế của pt đã cho ta được: Thế vào pt trên ta được: Thay các giá trị x = 0 ; x =-1 vào pt ban đầu ta thấy chỉ có x =-1 là thoả mãn .Vậy nghiệm pt ban đầu là x =-1. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . IX. Dạng 9: đặt ẩn phụ đưa về hệ Ví dụ: giải phương trình: ( Dạng tổng quát là: ) ( Dạng tổng quát là: ) . . HD: a. Đặt . Ta được hệ: . Lấy (1) trừ (2) theo các vế tương ứng ta được: Với y=-x ta được : Với y=x+1 ta được: . Vậy pt dã cho có hai nghiệm: . b. Đặt . Ta được hệ đối xứng loại 2 : . Sau khi giải hệ này ta thu được các nghiệm của hệ :(1 ; 1) ; (-2 ;-2) Vậy pt đã cho có hai nghiệm : x1=1 ; x2=-2. c. Đặt .Ta được hệ : . Thế u=1-v vào pt u3+v2=1 ta được: (1-v)3+v2=1 .Giải pt này ta thu được 3 nghiệm : v1=0 ; v2=1; v3=3.Từ đó suy ra pt đã cho có 3 nghiệm: x1=1 ; x2=2 ; x3=10. d. Đặt . Ta được hệ đối xứng loại I: . Giải hệ này ta thu được hai nghiệm: (1;3) ; (3;1). Từ đó tìm được các nghiệm của pt dã cho là: x1=-17 ; x2=23. Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . . . . X. Dạng 10: một số phương trình vô tỉ không mẫu mực Dạng này đòi hỏi học sinh phải có sự sáng tao trong làm toán. Trong các bài toán ở dạng này ta thường dùng các phương pháp : nhận xét, đánh giá, dùng các bất đẳng thức cổ điển... Ví dụ: giải phương trình: . HD: Pt có tập xác định D = [1;+). Với mọi x thuộc D ta thấy: . Dấu bằng xảy ra . . Dấu bằng xảy ra . Từ đó dễ suy ra pt có nghiệm duy nhất x=1. Ta cũng có thể giải bài toán này bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số. b. . HD: Pt có tập xác định D=[2 ;4] . Với mọi x thuộc D, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : . Dấu bằng xảy ra . . Dấu bằng xảy ra . Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3. Ta cũng có thể dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá vế trái. c. HD : Dễ thấy pt có tập xác định là R. áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có : Dấu bằng xảy ra Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0. d. . HD : Pt có tập xác định D=, áp dụng bđt Côsi ta có: . Dấu bằng xảy ra . Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1/16. đ. . HD : Ta thấy : .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 1. . Dấu bằng xảy ra Vậy nghiệm pt là . e. HD: +) Thay x = n; x= n+1 vào pt thấy thoả mãn. +) Nếu x < n thì . Do vậy mọi x < n không là nghiệm của pt. +) Nếu n < x < n+1thì : . Suy ra mọi x thoả n < x < n+1 cũng không là nghiệm pt. Vậy pt đã cho có hai nghiệm: x1=n ; x2=n+1. g. . (*) Trong bài này học sinh rất dễ mắc sai lầm là đem chia cả hai vế của phương trình cho được pt: . Giáo viên nên tạo ra lời giải theo hướng này và yêu cầu học sinh tìm chỗ sai trong lời giải. HD: Pt có tập xác định +) Nếu thì (*) . Ta thấy . Do vậy mọi không là nghiệm pt. +)Thay x=0 vào pt thấy thoả mãn. +) Nếu thì (*) . Ta thấy . Do vậy mọi cũng không là nghiệm pt. Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0. h. . HD +) Trước tiên ta đi chứng minh bđt : Dấu bằng ở bđt này xảy ra +) áp dụng bđt trên ta có : Dấu bằng xảy ra Bài tập áp dụng: giải phương trình: . . . . . XI. Dạng 11: các pt vô tỉ có chứa tham số. Đối với các pt vô tỉ có chứa tham số ta thường gặp các loại câu hỏi sau: +) Tìm m để pt có nghiệm trên D. +)Tìm m để pt có nghiệm duy nhất. +) Biện luận theo m số nghiệm của pt. Ví dụ1: tìm m để phương trình: a. có nghiệm. HD: Cách 1: pt trên có tập xác định là R. Xét hàm : f(x)= . Ta có f'(x)=. . Dễ tính được : Ta có bảng: x f'(x) - 0 + f(x) Nhìn vào bbt ta thấy pt có nghiệm khi và chỉ khi . Cách 2 : pt đã cho Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm thuộc .Ta dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai được đáp số như trên. b. có nghiệm trên (0 ;1). HD : Đặt y = . Bằng cách lập bbt của hàm u(x)= 2x-x2 trên khoảng (0 ;1) ta được tập giá trị của y trên (0 ;1) cũng là (0 ;1). Ta được pt : y2+y = 1-m (*) . Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm trên (0 ;1) Xét hàm f(y) = y2+y trên (0 ; 1). Ta thấy f(y) đồng biến trên (0 ;1) , do vậy hay tập giá trị của f(y) trên (0 ;1) là (0 ;2). Vậy pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi : 0< 1-m <2 hay -1 < m < 1. Bài này học sinh thường mắc sai lầm là khi đặt ẩn phụ : y = v(x) học sinh thường không tìm hoặc tìm không chính xác tập giá trị của y trên D. Sau đó lập luận pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt ẩn y có nghiêm. GV chú ý phân tích kỹ giúp học sinh tránh sai lầm này. c. có 4 nghiệm phân biệt. HD : Pt có tập xác định là [-3 ;1]. Đặt y = . Ta có bảng : x -3 -1 1 y 2 0 0 Ta được pt ẩn y : 3-y2 + my = m2 y2- my + m2 -3 = 0. Đặt f(y)= y2- my + m2 - 3 .Từ bbt ta thấy pt ban đầu có 4 nghiệm khi và chỉ khi f(y) có hai nghiệm phân biệt thuộc [0 ;2). Điều kiện cần và đủ là : Giải hệ này ta được : . d.. HD : +) Điều kiên cần : giả sử x0 là nghiệm của phương trình đã cho thì ta thấy 1-x0 cũng là nghiệm của pt đã cho. Do vậy điều kiện cần để pt có nghiệm duy nhất là x0=1-x0 hay x0=1/2. Thay x0=1/2 vào pt ta được : . +) Điều kiện đủ : Với m =0 khá dễ dàng thấy pt có nghiệm duy nhất x=1/2. Với m=-1 pt trở thành : . . Vơi m=1 pt trở thành: . Ta thấy x=0; x=1 khi thay vào pt đều thoả mãn. Vậy đáp số bài toán là: m = 0; m =-1. Ví dụ2: biện luận theo m số nghiệm pt: . HD: Ta thấy pt luôn nhận x=0 là nghiệm với mọi m.Trên tập , pt đã cho tương đương với : (*) Số nghiệm của pt ban đầu bằng số nghiệm của pt (*) cộng với 1. Xét hàm trên . Ta có : . Ta tính được : Ta có BBT : x 0 f'(x) - - f(x) 1 Nhìn vào bảng BT ta thấy: +) Nếu thì PT f(x) =m vô nghiệm, suy ra PT ban đầu có một nghiệm. Bài tập áp dụng: Bài 1 : Tìm m để pt sau có nghiệm . . . . m. mx= . . Bài 2 : Tìm m để pt : có hai nghiệm phân biệt. có 4 nghiệm phân biệt. có hai nghiệm. Bài 3 : Tìm m để pt : có nghiệm duy nhất. có nghiệm duy nhất. có nghiệm duy nhất trên [3 ;5] Bài 4 : Biện luận theo m số nghiệm pt: . . . Phần III : Một số khó khăn, thuận lơị và những quan điểm khi dạy học phần này. *) Khó khăn : Khi giải phương trình nhiều khi học sinh không nắm vững phép biến đổi đó tương đương hay hệ quả. Kĩ năng tính toán của học sinh còn kém, một số học sinh khi biến đổi căn thức còn mắc nhiều sai lầm chẳng hạn như : Đối với học sinh lớp 10,việc vận dụng các định lý đảo về dấu tam thức bậc hai còn hạn chế. Khi vận dụng vào các dạng toán chứa tham số các em hay bỏ xót trường hợp hoặc đủ trường hợp nhưng tính toán không chính xác. Đối với học sinh lớp 12 khi lập bảng biến thiên ở các chứa tham sô các em tính các nhánh vô cực nhiều khi còn khó khăn. *) Thuận lợi : chuyên đề này kiến thức không trìu tượng, có thể nói là khá dễ dạy, học sinh dễ thu lượm được các dạng cơ bản. 2. Một số quan điểm khi dạy học phần này : Dạy cho đối tượng đại chà những dạng cơ bản, cho học sinh khá giỏi cả chuyên đề. Chú ý rèn kĩ năng tính toán cho học sinh. Đối với học sinh lớp 10 , dạng có chứa tham số chỉ dừng ở mức độ nhất định, không nên quá sa đà vào dạng này.Những bài nào có thể dùng bbt của hàm bậc hai thì ta nên hướng dẫn học sinh theo hướng đó, không nên dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai làm phức tạp bài toán. Khi học sinh học đến các dạng pt lượng giác , mũ , logarit, ta nên lồng ghép những loại này với phương trình vô tỉ.Chuyên Đề: Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Ví dụ Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : Bình phương 2 vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm Ví dụ Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Dễ dàng chứng minh được : Bài 3. Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : , khi đĩ ta có hệ: b) Ví dụ Bài 4. Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= Bài 5. Giải phương trình : Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) 3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng đẳng thức Bài 1. Giải phương trình : Giải: Bi 2. Giải phương trình : Giải: + , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài 3. Giải phương trình: Giải: pt Bài 4. Giải phương trình : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng : Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đk: khi đó pt đ cho tương đương : Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài 3. Giải phương trình sau : Giải : pttt II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ . Bài 1. Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét. Đặt thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thnh: ( với Từ đó ta tìm được các giá trị của Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài 5. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải được. Bài 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t=, Ta có : Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a) . Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đặt phương trình trở thnh : Tìm được: Bài 2. Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thứ ta được Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hy biến pt trn về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Bài 1. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau 5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 8. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ??? Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là: Đặt thì ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Bài 6. Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình như sau: Đặt ta được hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm của phương trình là Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau : Bài 1 . Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước : Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) Ta có hệ : Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn được ngay Ta có lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau: khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát . Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được. Một số phương trình được xây dựng từ hệ. Giải các phương trình sau Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này ! III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình : 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình : , Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được: = Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ? Bài 1. Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài 2. Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình Bài 3. Giải phương trình : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x có sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : Nếu : thì đặt với hoặc với Nếu thì đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác X là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác ) 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1) Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : thì (ptvn) ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : Bài 2. Giải các phương trình sau : DH: Đs: HD: chứng minh vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Bài 4. .Giải phương trình Giải: đk: , ta có thể đặt Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm : Bài 5 .Giải phương trình : Giải: đk Ta có thể đặt : Khi đó pttt. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1 : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình (chuyển về dạng 2) và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 3: Cho phương trình: Giải phương trình khi m=1 Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình khi m=3 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường. Nếu bài toán có chứa và khi đó đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). Nếu bài toán có chứa , và (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : , khi đó Nếu bài toán có chứa và khi đó có thể đặt: suy ra Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với Nếu bài toán có chứa ta có thể đặt với Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) Bài 3: Cho phương trình: Giải phương trình với m=3 Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình với Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 5: Cho phương trình: Giải phương trình với m = 9 Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát. Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) 3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. a) Dạng thông thường: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ta có thể đặt: từ đó suy ra . Khi đó ta có hệ Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: với Cách giải: Đặt: khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. với Cách giải: Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với do đó là nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 2: thực hiện theo các bước Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi đó Ví dụ: Giải phương trình : Giải: pt Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài tập: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f)
Chuyên Đề: Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
1. PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Dạng 1 : Phương trình Dạng 2: Phương trình Tổng quát: Dạng 3: Phương trình (chuyển về dạng 2) +) (1) và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : (2) Dạng 4: Chú ý: – Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1). – Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có điều kiện cho 2 vế không âm là một phép biến đổi hệ quả. Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại. Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) (20) Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả (21) Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng : * , đặt * , đặt * đặt Chú ý: * Nếu không có điều kiện cho t, sau khi tìm được x thì phải thử lại Bài 1. Giải các phương trình sau: 7) 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) b) Bài 3. Cho phương trình: a. Giải phương trình khi m = 12 b. Tìm m để phương trình có nghiệm? Bài 4. Cho phương trình: (Đ3) a. Giải phương trình với m = -3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm? Dạng 2: Các phương trình có dạng: Đặt Bài 1. Giải các phương trình sau: a) (QGHN-HVNH’00) b) – 2 c) (AN’01) d) e) (Đ36) g) (TN- KA, B ‘01) h) i) (KTQS‘01) Bài 2. Cho phương trình: (ĐHKTQD – 1998) a. Giải phương trình khi a = 3. b. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.? Bài 3. Cho phương trình: (Đ59) a. Giải phương trình với m = 3. b. Tìm m để phương trình có nghiệm? Bài 4. Cho phương trình: (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) a. Giải phương trình khi m = 2. b. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm. Bài 5. Tìm a để PT sau có nghiệm: Tất cả bài tập 2, 3, 4, 5 ta có thể sáng tạo thêm những câu hỏi hoặc những bài tập sau: Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất? (ĐK cần và đủ) Tìm a để phương trình đã cho vô nghiệm? Dạng 3: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu. (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn ) Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đặt , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rút thay vào thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chính phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) (9) Một số dạng khác. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 10) (Đ141) 11) Dạng 4: . Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a) . Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đặt Phương trình trở thành : Tìm được: Bài 2. Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thức ta được: Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Bài 1. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : . Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau 3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH. Sử dụng đẳng thức a3-b3 Û (a-b)(a2+ab+b2)=0 Û a=b Bài 1. Giải phương trình : Giải: Bi 2. Giải phương trình : Giải: + , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài 3. Giải phương trình: Giải: pt Bài 4. Giải phương trình : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng : Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đk: khi đó pt đ cho tương đương : Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài 3. Giải phương trình sau : Giải : pttt ĐS: x=1. Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : 1) 4) 8) 2) (với n Î N; n ³ 2) 5) (ĐHDL ĐĐ’01) 3) 6) 7) (1) (HVKT QS – 2001) 4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC 1. (ĐHSPHN2’00) 2. 3. 4. 5. 8) (Đ8) 9. (BKHN- 2001) 5. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. 1. 2. 3. 4. 5. (HVCNBC’01) 6. (Đ24) 8. 7. . 8. 6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 6.1. Nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm Ví dụ Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Dễ dàng chứng minh được : Bài 3. Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 6.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : , khi đĩ ta có hệ: b) Ví dụ Bài 4. Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= Bài 5. Giải phương trình : Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 7. PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , phương trình dạng Û 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Bài 1: Giải các phương trình sau Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) (Đ11) 10) 11) 8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ . Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thường. Hoặc hệ đối xứng loại một. Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 4. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau (ĐHTCKTHN – 2001) (ĐHDL HP’01) (Đ12) (DL Hùng vương- 2001) (CĐ mẫu giáo TW1- 2001) (Đ142) Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai. Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ??? Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là: Đặt thì ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Kết luận: Nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình như sau: Đặt ta được hệ phương trình sau: Với . Với Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau 1) 2) 3) (x2 + 3x – 4)2 + 3(x2 + 3x – 4) = x + 4 4) 5) 6) 7) 8) (ĐHAN-D) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM. Các bước: Tìm tập xác định của phương trình. Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó. Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình. Ví dụ. Giải phương trình sau: (1) Giải: Tập xác định: D = R. Đặt f(x) = Ta có: Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M= Ta thấy f(-1)=0 Þ x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có: Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x): x -∞ -1 +∞ f’(x) ÷ú ÷ú ÷ú F(x) +∞ 0 3 -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 Û x = -1. Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = -1. Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1) 2) Từ bài 2, ta có bài tập 3. 3) 4) 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 10. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ. Ví dụ. Giải phương trình sau: (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1]. (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0 £ t £ p (A) Khi đó phương trình (1) trở thành: (3) Với t Î (A), ta có: Đặt X = cost + sint (5), (B)Þ X2 = 1 + chúng tôi Þ chúng tôi = Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X: Ta thấy chỉ có nghiệm X = và X = – + 1 là thoả mãn điều kiện (B). + Với X = , thay vào (5) ta được: Vì t Î (A) nên ta có t = . Thay vào (*) ta được: x = cos= (thoả mãn tập xác định D). + Với X = – + 1, thay vào (5) ta được: Khi đó, ta có: Þ Từ (**) và (6) suy ra cost = . Thay vào (5), ta được x = . Nhưng chỉ có nghiệm x = thoả mãn tập xác định D. Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = và x = . Bài tập tương tự. 1) (HVQHQT- 2001) 2) 3) 4) 1. Giải các phương trình sau: 1) 8) 15) 2) 9) 16) 3) 10) 17) 4) 11) 18) 6) 13) 20) 7) 14) 21) 2. Giải các phương trình sau: 1) 9) 2) 10) 3) 11) 4) 12) 5) 13) 6) 14) 7) 15) 3. Giải các phương trình sau: (ẩn phụ ® hệ) 1) 2) 3) 4) 4. Giải các phương trình sau (Đánh giá) 1) 3) 2) 4) 5. Tìm m để phương trình có nghiệm. 1) 2) 4) 6. Tìm m để phương trình có nghiệm. 1) 4) 2) 5) 3) 6) 7. Giải phương trình, hệ phương trình: a) b) c) d) e) f) 11. XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC 11.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 11.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập: giải phương trình, hệ phương trình sau: 3) 4) 5) MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC: I/ Dạng 1: Giải phương trình. 1/ (Dự bị 2 khối D 2006) : , . 2/ (Dự bị 1 khối B 2006) : ,. 3/ (Dự bị 1 khối B 2005) : . 4/ ( ĐH KD-2005) ; 5/ ( ĐH KD-2006) : , 6/ ; 7/ 8/ ; 9/ 10/ ; 11/ . 12/. II/ Dạng 2: Giải bất phương trình. 1/ (Dự bị 2 khối B 2005) : ; 2/ (Dự bị 1 khối D 2005) : ; 3/ ( ĐH KD – 02) ; 4/ ( ĐH KA-05) ; 5/ ( ĐH KA-04) ; 6/ ( ĐH KA-2010): III/ Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm . Thông thường ở dạng này ta sử dụng một trong các phương pháp sau: * PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghịch biến của hàm số. * PP2: Sử dụng tương giao của các đồ thị hàm số. 1/ (Dự bị 1 khối B 2007) : Tìm m để phương trình: có nghiệm. 2/ (Dự bị 1 khối A 2007) :Tìm m để bất phương trình : có nghiệm . 3/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình có nghiệm thực . 4/ ( ĐH KB-2007) CMR với giá trị của mọi m, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt . 5/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình , có đúng hai nghiệm thực phân biệt. 6/ (Khối D-2004): CMR: phương trình sau có đúng một nghiệm :. 7/ ( ĐH KB-2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm : . 8/ ( ĐH KB-2006): Tìm m để pt: có 2 nghiệm thực phân biệt
Luyện Tập Phương Trình Vô Tỉ
1.Ví dụ: Giải các phương trình sau: Hướng dẫn giải: . Vậy là nghiệm của phương trình. Vậy là nghiệm của phương trình. B. Bài tập tương tự. Bài 1: Giải các phương trình sau: Bài 2: Giải các phương trình sau: (HD: đặt ) (HD: đặt ) .Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ: Giải phương trình : Giải: Đặt ta có Tìm t sau đó suy ra x (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng) 2.Phương pháp đưa về hệ phương trình: Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng Ví dụ: Giải phương trình : Đặt Khi đó ta có hệ Giải hệ tìm a;b suy ra x. 3.Phương pháp bất đẳng thức: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Theo BĐT Côsi ta có Do đó 4.Phương pháp lượng giác: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện .Đặt và biến đổi đơn giản ta có: suy ra a và từ đó tìm được x 5.Phương pháp nhân liên hợp: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Phương trình tương đương với: Một số bài tập Baì 79008 Giải phương trình sau: Baì 74515 Cho phương trình: Nghiệm của phương trình là: A. Vô nghiệm B. X=2 C. Vô số nghiệm D. Kết quả khác Baì 70314 Giải phương trình : Baì 66004 Giải phương trình: A. B. C. D. Baì 62951 Giải phương trình: Baì 62917 Giải phương trình: Baì 62916 Giải phương trình: Baì 62914 Giải phương trình: Baì 62912 Giải phương trình: Baì 62911 Giải phương trình: (HD: đặt ) Ví dụ 9: Giải phương trình (Đề chính thức Olympic 30 – 4 năm 2006) Lời giải: Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng: Vì . Suy ra: Nếu và Nếu . Suy ra: ( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và . Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp để tìm ra nhân tử chung là . Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này. Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên. Xét phương trình: Vì . Suy ra: Bây giờ ta chỉ cần xác định sao cho: . Suy ra: và Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày. Ví dụ 10: Giải phương trình (Đề đề nghị, Olympic 30 – 4 năm 2007) Lời giải: Điều kiện: Vì không là nghiệm của phương trình ta viết dưới dạng: Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm được . Vậy: Vì . Suy ra: Nếu và Nếu . Suy ra: ( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và . Ví dụ 11: Giải phương trình ( Thi HSGQG, năm 1995, bảng A) Lời giải: Điều kiện: Vì . Suy ra: Vì . Suy ra: Nếu . Nếu . Suy ra: Suy ra: hay ( vì ) Dễ thấy vế trái của phương trình liên tục và luôn đồng biến trên , vế phải của phương trình liên tục và luôn nghịch biến trên . Lại có là nghiệm vậy cũng là nghiệm duy nhất của phương trình . Nghiệm này loại vì . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Ví dụ 12: Giải phương trình (Toán học và tuổi trẻ 365/2007) Lời giải: Điều kiện: Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng: Vì . Suy ra: Nếu và Nếu . Suy ra: ( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình có 2 nghiệm là và . Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc Giải các phương trình sau: ( Đề đề nghị Olympic 30-4) ( Đề đề nghị Olympic 30-4) ( Đề đề nghị Olympic 30-4) ( Đề đề nghị Olympic 30-4) ( Toán học và tuổi trẻ) Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Dạng 1: Phương trình Dạng 2: phương trình: ( g(x,m) phải có nghĩa) Dạng 3: Phương trình: (f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa) Ví dụ minh hoạ : VD1: tìm m để pt sau có nghiệm: LG: Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng: Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ – dạng 1: Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một ohương trình với một ẩn phụ Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: * Nếu bài toán chứa và f(x), có thể đặt , điều kiện tối thiểu , khi đó * Nếu bài toán chưa và ( k=const) có thể: đặt , điều kiện tối thiểu , khi đó * Nếu bài toán chứa và f(x)+g(x)=k (k=const), có thể : đặt , khi đó * Nếu bài toán chứa hoặc có thể đặt x=acos2t * Nếu bài toán chứa có thể đặt Chú ý: Vơí các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng pp đặt ẩn phụ, nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ. Để tìm Đk đúng cho ẩn phụ đối vơícác phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các pp sau: – Sử dụng tam thức bậc 2,ví dụ: – Sử dụng BĐT,ví dụ: Vậy Đk cho ẩn phụ là : -Sử dụng đạo hàm Ví dụ VD1: GPT: Đặt , ta có: do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng : Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 VD2:GPT: ++=0 (1) Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được (2) Đặt } , khi đó (2) hoặc t=-1/2 Bây giờ xét 2 trường hợp: TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại. Vậy pt vô nghiệm. TH2: Nếu n lẻ Với ( vô nghiệm) Với Vậy… Bài tập tương tự: Giải các pt sau: Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ – dạng 2: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình mới với k ẩn phụ. Trong hệ mới thì k-1 phương trình nhận được từ các mỗi liên hệ giữa các đại lượng tương ứng. Chẳng hạn : + ta có thể đặt suy ra Khi đó ta thu được hệ phương trình : Ví dụ: Giải: Đk: đặt : Khi đó pt được chuyển thành hệ: giải ra được hay Bài tập tương tự: Giải các pt sau:
Cập nhật thông tin chi tiết về Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!