Xu Hướng 8/2022 # Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I # Top View | Englishhouse.edu.vn

Xu Hướng 8/2022 # Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I # Top View

Xem 396

Bạn đang xem bài viết Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I được cập nhật mới nhất ngày 09/08/2022 trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, bài viết này đã đạt được 396 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

  • Đại Số 9 : Hệ Phương Trình , Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Có Ẩn Dưới Dấu Căn Bậc Hai
  • Giải Phương Trình Số Phức Như Thế Nào?
  • Bài Tập Phương Trình Hóa Học Lớp 10 Về Halogen
  • Bài 5 – 6 : Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Trang 1

    CHUYÊN ðỀ

    HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I

    TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

    I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:

    f(x, y) = 0

    g(x, y) = 0

    

    

    , trong ñó

    f(x, y) = f(y, x)

    g(x, y) = g(y, x)

    

    

    Phương pháp giải chung:

    i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có).

    ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ .

    iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y.

    Chú ý:

    i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.

    ii) ðôi khi ta phải ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.

    iii) Có những hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau khi ñặt ẩn phụ.

    Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

    2 2

    3 3

    x y xy 30

    x y 35

     + =

     + =

    .

    GIẢI

    ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P≥ . Hệ phương trình trở thành:

    2

    2

    30

    PSP 30 S

    90S(S 3P) 35

    S S 35

    S

     = =  ⇔    − =   − =    

    S 5 x y 5 x 2 x 3

    P 6 xy 6 y 3 y 2

       = + = = =      ⇔ ⇔ ⇔ ∨   

       = = = =      

    .

    Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

    3 3

    xy(x y) 2

    x y 2

     − = −

     − =

    .

    GIẢI

    ðặt t y, S x t, P xt= − = + = , ñiều kiện 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:

    3 3 3

    xt(x t) 2 SP 2

    x t 2 S 3SP 2

     + = =  ⇔ 

     + = − =  

    S 2 x 1 x 1

    P 1 t 1 y 1

      = = =    ⇔ ⇔ ⇔  

      = = = −    

    .

    Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

    2 2

    2 2

    1 1

    x y 4

    x y

    1 1

    x y 4

    x y

     + + + =

     + + + =

    .

    GIẢI

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 2

    ðiều kiện x 0, y 0≠ ≠ .

    Hệ phương trình tương ñương với: 2 2

    1 1

    x y 4

    x y

    1 1

    x y 8

    x y

           + + + =         

          + + + =         

    ðặt 2

    1 1 1 1

    S x y ,P x y ,S 4P

    x y x y

                = + + + = + + ≥                     

    ta có:

    2

    1 1

    x y 4

    S 4 S 4 x y

    P 4 1 1S 2P 8

    x y 4

    x y

           + + + =     = =         ⇔ ⇔      =− =      + + =        

    1

    x 2 x 1x

    1 y 1

    y 2

    y

     + =  = ⇔ ⇔ 

      = + =

    .

    Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

    2 2x y 2xy 8 2 (1)

    x y 4 (2)

     + + =

     + =

    .

    GIẢI

    ðiều kiện x, y 0≥ . ðặt t xy 0= ≥ , ta có:

    2xy t= và (2) x y 16 2t⇒ + = − .

    Thế vào (1), ta ñược:

    2t 32t 128 8 t t 4− + = − ⇔ =

    Suy ra:

    xy 16 x 4

    x y 8 y 4

     = =  ⇔ 

     + = =  

    .

    II. ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

    Phương pháp giải chung:

    i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có).

    ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ (*).

    iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m.

    Chú ý:

    Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v.

    Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực:

    x y 1

    x x y y 1 3m

     + =

     + = −

    .

    GIẢI

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 3

    ðiều kiện x, y 0≥ ta có:

    3 3

    x y 1 x y 1

    x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m

      + = + = 

    ⇔ 

     + = − + = −   

    ðặt S x y 0,P xy 0= + ≥ = ≥ , 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:

    2

    S 1 S 1

    P mS 3SP 1 3m

     = =  ⇔ 

      =− = − 

    .

    Từ ñiều kiện 2S 0,P 0,S 4P≥ ≥ ≥ ta có 10 m

    4

    ≤ ≤ .

    Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình

    2 2

    x y xy m

    x y xy 3m 9

     + + =

     + = −

    có nghiệm thực.

    GIẢI

    2 2

    x y xy m (x y) xy m

    xy(x y) 3m 9x y xy 3m 9

     + + = + + =  ⇔ 

      + = −+ = − 

    .

    ðặt S = x + y, P = xy, 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:

    S P m

    SP 3m 9

     + =

     = −

    .

    Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2t mt 3m 9 0− + − =

    S 3 S m 3

    P m 3 P 3

     = = −  ⇒ ∨ 

     = − =  

    .

    Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm

    2

    2

    3 4(m 3) 21

    m m 3 2 3

    (m 3) 12 4

     ≥ −

    ⇔ ⇔ ≤ ∨ ≥ + − ≥

    .

    Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình

    x 4 y 1 4

    x y 3m

     − + − =

     + =

    có nghiệm.

    GIẢI

    ðặt u x 4 0, v y 1 0= − ≥ = − ≥ hệ trở thành:

    2 2

    u v 4u v 4

    21 3mu v 3m 5 uv

    2

     + = + =  ⇔  − + = − =  

    .

    Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3mt 4t 0

    2

    − + = (*).

    Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm

    / 3m 130 0 132S 0 m 7

    21 3m 3

    0P 0

    2

     −∆ ≥  ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 

      −  ≥≥   

    .

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 4

    Ví dụ 4. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình

    2 2x y 4x 4y 10

    xy(x 4)(y 4) m

     + + + =

     + + =

    có nghiệm thực.

    GIẢI

    2 22 2

    2 2

    (x 4x) (y 4y) 10x y 4x 4y 10

    xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m

      + + + = + + + = ⇔ 

     + + = + + =  

    .

    ðặt 2 2u (x 2) 0, v (y 2) 0= + ≥ = + ≥ . Hệ phương trình trở thành:

    u v 10 S 10

    uv 4(u v) m 16 P m 24

     + = =  ⇔ 

     − + = − = +  

    (S = u + v, P = uv).

    ðiều kiện

    2S 4P

    S 0 24 m 1

    P 0

     ≥ ≥ ⇔ − ≤ ≤

     ≥

    .

    BÀI TẬP

    Giải các hệ phương trình sau

    1.

    2 2

    x y xy 5

    x y xy 7

     + + =

     + + =

    . ðáp số:

    x 1 x 2

    y 2 y 1

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    2.

    2 2x xy y 3

    2x xy 2y 3

     + + =

     + + = −

    . ðáp số:

    x 1 x 3 x 3

    y 1 y 3 y 3

       = − = = −   ∨ ∨  

      = − = − =     

    .

    3.

    3 3

    x y 2xy 2

    x y 8

     + + =

     + =

    . ðáp số:

    x 2 x 0

    y 0 y 2

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    4.

    3 3x y 7

    xy(x y) 2

     − =

     − =

    . ðáp số:

    x 1 x 2

    y 2 y 1

     = − =  ∨ 

     = − =  

    .

    5.

    2 2

    x y 2xy 5

    x y xy 7

     − + =

     + + =

    . ðáp số:

    1 37 1 37

    x xx 2 x 1

    4 4

    y 1 y 2 1 37 1 37

    y y

    4 4

      − + = =  = = −      ∨ ∨ ∨   

       = = − − − − +     = =    

    .

    6.

    2 2

    2 2

    1

    (x y)(1 ) 5

    xy

    1

    (x y )(1 ) 49

    x y

     + + =

     + + =

    . ðáp số:

    x 1 x 17 3 5 7 3 5

    x x

    2 2 7 3 5 7 3 5

    y yy 1 y 1

    2 2

       = − = −   − +   = =   ∨ ∨ ∨   − +   = =   = − = −         

    .

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 5

    7.

    x y y x 30

    x x y y 35

     + =

     + =

    . ðáp số:

    x 4 x 9

    y 9 y 4

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    8.

    x y 7

    1

    y x xy

    x xy y xy 78

     + = +

     + =

    y 9 y 4

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    9. ( )

    2 23 3

    3 3

    2(x y) 3 x y xy

    x y 6

     + = +

     + =

    . ðáp số:

    x 8 x 64

    y 64 y 8

     = =  ∨ 

     = =  

    .

    10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình

    2 2 2x y z 8

    xy yz zx 4

     + + =

     + + =

    . Chứng minh 8 8x, y, z

    3 3

    − ≤ ≤ .

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    Hệ phương trình

    2 2 2 2 2x y 8 z (x y) 2xy 8 z

    xy z(x y) 4 xy z(x y) 4

      + = −  + − = − ⇔ ⇔ 

     + + = + + =  

    2 2(x y) 2[4 z(x y)] 8 z

    xy z(x y) 4

     + − − + = −⇔ 

     + + =

    2 2(x y) 2z(x y) (z 16) 0

    xy z(x y) 4

     + + + + − =⇔ 

     + + =

    2 2

    x y 4 z x y 4 z

    xy (z 2) xy (z 2)

     + = − + = − −  ⇔ ∨ 

     = − = +  

    .

    Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:

    2 2

    2

    2 2

    (4 z) 4(z 2) 8 8

    (x y) 4xy z

    ( 4 z) 4(z 2) 3 3

     − ≥ −

    + ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − − ≥ +

    .

    ðổi vai trò x, y, z ta ñược 8 8x, y, z

    3 3

    − ≤ ≤ .

    11.

    x y

    1 1 1

    16 16 2

    x y 1

           + =          + =

    . ðáp số:

    1

    x

    2

    1

    y

    2

     =

     =

    .

    12.

    sin (x y)

    2 2

    2 1

    2(x y ) 1

    π + =

     + =

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    Cách 1:

    sin (x y)

    2 2 2 22 2

    sin (x y) 0 x y (1)2 1

    2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1

    π +  π + = + ∈ =    ⇔ ⇔  

      + = + =+ =   

    Z

    2

    2 2

    2

    1 2 2

    x x1 2 2 2(2) x y 2 x y 2

    12 2 2y y

    2 2 2

       ≤ − ≤ ≤  ⇔ + = ⇒ ⇒ ⇒ − ≤ + ≤ 

      ≤ − ≤ ≤   

    .

    x y 0

    (1)

    x y 1

     + =

    ⇒  + = ±

    thế vào (2) ñể giải.

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 6

    Cách 2:

    ðặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:

    sinS

    22

    S2 1

    4P 2S 12(S 2P) 1

    π  ∈ =  ⇔ 

      = −− = 

    Z

    .

    Từ ñiều kiện 2S 4P≥ ta suy ra kết quả tương tự.

    Hệ có 4 nghiệm phân biệt

    1 1 1 1

    x x x x

    2 2 2 2

    1 1 1 1

    y y y y

    2 2 2 2

             = = − = = −      ∨ ∨ ∨   

          = = − = − =         

    .

    Tìm ñiều kiện của m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu

    1. Tìm m ñể hệ phương trình

    2 2x xy y m 6

    2x xy 2y m

     + + = +

     + + =

    có nghiệm thực duy nhất.

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:

    2 2

    2 2 2

    3x m 6 3x 6 m m 3

    m 21x 4x m x 4x 3x 6

       = +  − = = −  ⇔ ⇒    =+ = + = −    

    .

    + m = – 3:

    2 2 2x xy y 3 (x y) xy 3

    2(x y) xy 3 2(x y) xy 3

      + + =  + − = ⇔ 

     + + = − + + = −  

    x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1

    xy 3 xy 1 y 1y 3 y 3

        + = + = − = = − = −     ⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨    

        = − = = −= − =        

    (loại).

    + m = 21:

    2 2 2x xy y 27 (x y) xy 27

    2x xy 2y 21 2(x y) xy 21

      + + =  + − = ⇔ 

     + + = + + =  

    x y 8 x y 6 x 3

    xy 37 xy 9 y 3

      + = − + = =    ⇔ ∨ ⇔  

      = = =    

    (nhận).

    Vậy m = 21.

    2. Tìm m ñể hệ phương trình:

    2 2

    x xy y m 1

    x y xy m

     + + = +

     + =

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    2 2

    x xy y m 1 (x y) xy m 1

    xy(x y) mx y xy m

     + + = + + + = +  ⇔ 

      + =+ = 

    x y 1 x y m

    xy m xy 1

     + = + =  ⇔ ∨ 

     = =  

    .

    Hệ có nghiệm thực dương

    2

    m 0 1

    0 m m 2

    1 4m m 4 4

     ≥ ∨ ≥

    .

    Vậy 10 m m 2

    4

    < ≤ ∨ ≥ .

    ThS. ðoàn Vương Nguyên

    Trang 7

    3. Tìm m ñể hệ phương trình

    x y m

    x y xy m

     + =

     + − =

    có nghiệm thực.

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    ( )

    22

    x y mx y mx y m

    m m

    x y xy m xyx y 3 xy m

    3

     + =  + = + =  ⇔ ⇔   −  + − = =+ − =     

    .

    Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình

    2

    2 m mt mt 0

    3

    − + = (*).

    Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm

    / 2

    2

    0 m 4m 0

    m 0

    S 0 m 0

    1 m 4

    P 0 m m 0

     ∆ ≥ − ≤  =  ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔    ≤ ≤  ≥ − ≥   

    .

    Vậy m 0 1 m 4= ∨ ≤ ≤ .

    4. Tìm m ñể hệ phương trình

    2 2

    2

    x y 2(1 m)

    (x y) 4

     + = +

     + =

    có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt.

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    2 2 2

    2 2

    x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)

    (x y) 4 (x y) 4

      + = +  + − = + ⇔ 

     + = + =  

    xy 1 m xy 1 m

    x y 2 x y 2

     = − = −  ⇔ ∨ 

     + = + = −  

    .

    Hệ có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( )

    2

    2 4(1 m) m 0± = − ⇔ = .

    5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình

    2 2 2

    x y 2m 1

    x y m 2m 3

     + = −

     + = + −

    . Tìm m ñể P = xy nhỏ nhất.

    HƯỚNG DẪN GIẢI

    ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P.≥

    2 2 2 2 2

    x y 2m 1 S 2m 1

    x y m 2m 3 S 2P m 2m 3

     + = − = −  ⇔ 

     + = + − − = + −  

    2 2 2

    S 2m 1S 2m 1

    3(2m 1) 2P m 2m 3 P m 3m 2

    2

     = − = − ⇔ ⇔ 

     − − = + − = − +  

    Từ ñiều kiện suy ra 2 2 4 2 4 2(2m 1) 6m 12m 8 m .

    2 2

    − +

    − ≥ − + ⇔ ≤ ≤

    Xét hàm số 23 4 2 4 2f(m) m 3m 2, m

    2 2 2

    − +

    = − + ≤ ≤ .

    Ta có 4 2 11 6 2 4 2 4 2min f(m) f , m ;

    2 4 2 2

       − − − +  = = ∀ ∈       

    Vậy 11 6 2 4 2min P m

    4 2

    − −

    = ⇔ = .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Đại Số 10
  • Quy Tắc Crammer Là Gì?
  • Hệ Ba Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn
  • Giáo Án Tự Chọn Toán 10 Tiết 26 Chủ Đề: Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Giải Các Hệ Phương Trình Tuyến Tính
  • Cập nhật thông tin chi tiết về Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100