Bạn đang xem bài viết Bài 2 : Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên, Đường Xiên Và Hình Chiếu được cập nhật mới nhất trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Posted 27/10/2011 by Trần Thanh Phong in Hình Học 7, Lớp 7. Tagged: tam giác. 13 phản hồi
BÀI 2
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
–o0o–
Định nghĩa :
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :
Đoạn thẳng AH
: gọi là đoạn vuông góc hay
đường vuông góc
kẻ từ A đến đường thẳng d.
Điểm H :
gọi là chân của đường vuông góc hay
hình chiếu của điểm A
trên đường thẳng d.
Đoạn thẳng AB :
gọi là
đường xiên
kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Đoạn thẳng HB
: gọi là
hình chiếu
của đường xiên AB trên đường thẳng d.
Định lí 1 :
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Định lí 2 :
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :
đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
==========================================
BÀI TẬP SGK – SBT :
BÀI 13 TRANG 60 : chứng minh
a) BE < BC
b) DE < BC.
GIẢI.
a) BE < BC
Ta có : AB AC suy ra :
AC là hình chiếu của BC lên AC.
AE là hình chiếu của BE lên AC.
b) DE < BC
Ta có : AE AB suy ra :
AB là hình chiếu của BE lên AB.
AD là hình chiếu của DE lên AB.
Từ (1) và (2) : DE < BE < BC hay DE < BC
BÀI 17 TRANG 38 SBT :
Ta có :
BH là hình chiếu của AB lên BC.
CH là hình chiếu của AC lên BC.
Ta lại có :
BH là hình chiếu của EB lên BC.
CH là hình chiếu của EC lên BC.
BÀI 18 TRANG 39 SBT : cho hình bên . chứng minh : BD + CE < AB + AC
GIẢI.
Ta có : CE AB tại E, ta được :
CE là đường vuông góc, CA là đường xiên.
Ta lại có : BD AC tại D, ta được :
BD là đường vuông góc, AB là đường xiên.
Cộng (1) và (2), ta được : BD + CE < AB + AC
==================
BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
BÀI 1 :
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC.
Vẽ các điểm E, D, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CB, AC.
Chứng minh : MF + MD + MF < MA +MB + MC.
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ A đến BC.
Chứng minh : AH < (AB + AC) : 2
Lấy điểm M nằm giữa A và H. so sánh : MB và MC.
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A. tia phân giác của góc B cắt AC tại D. so sánh : DE và DC
======================
BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :
Bài 1 :
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. đường thẳng d qua A. từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc d (E, F thuộc d).
a) Chứng minh : ABE = ACF.
b) Chứng minh : BE + CF = EF.
c) Xác định vị trí của d để A là trung điểm EF.
Bài 1 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên cạnh huyền BC lấy M sao cho BM = BA, Trên cạnh huyền AC lấy N sao cho AN = AH. Chứng minh rằng :
a) AM là phân giác của góc HAC.
b) MN vuông góc AC.
Chia sẻ:
Like this:
Số lượt thích
Đang tải…
Hình Chiếu Là Gì? Phân Loại Hình Chiếu Và Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc
Hình chiếu là gì? Phân loại hình chiếu và quan hệ giữa đường vuông góc
Hình chiếu là gì? Nghe có vẻ rất đơn giản vì đây là kiến thức của Toán Học lớp 7. Nhưng không phải ai cũng có thể hiểu về khái niệm này một cách chính xác.
Hình chiếu là gì?
Hình chiếu là hình biểu diễn ba chiều của vật lên mặt phẳng hai chiều. Yếu tố cơ bản giúp tạo nên hình chiếu chính là vật cần chiếu, phép và mặt phẳng chiếu.
Hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên đường thẳng chính là khoảng cách giữa hai đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho trước. Hình chiếu của một điểm tức là giao điểm của đường thẳng đã cho trước, và đường thẳng kẻ từ điểm vuông góc.
Phân loại hình chiếu
1. Hình chiếu thẳng góc
Đây là loại hình biểu diễn theo cách đơn giản, hình dạng, kích thước của vật thể đã được bảo toàn và cho phép thể hiện hình dạng, kích thước vật thể một cách chính xác.
Với mỗi hình chiếu thẳng góc sẽ chỉ thể hiện được hai chiều. Nên chúng ta cần phải dùng đến nhiều hình chiếu để biểu diễn nhất là đối với những vật thể phức tạp. Có ba hình chiếu phổ biến đó là: Hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng.
2. Hình chiếu trục đo
Hình chiếu này có thể biểu diễn được hết ba chiều của vật thể lên trên mặt phẳng chiếu. Và các tia chiếu song song với nhau. Sẽ tùy vào phương chiếu là vuông góc hay xiên góc. Theo sự tương quan của ba chiều, sẽ được phân ra các loại hình chiếu như sau:
a. Hình chiếu trục đo vuông góc
Hình chiếu trục đo vuông góc, có đều ba hệ số biến dạng với ba trục bằng nhau
Hình chiếu trục đo vuông góc sẽ cân hai trong ba hệ số biến dạng, có từng đôi một bằng nhau
Hình chiếu trục đo vuông góc sẽ lệch ba hệ số biến dạng, với ba chục không bằng nhau
b. Hình chiếu trục đo xiên góc
Hình chiếu trục đo xiên góc đều
Hình chiếu trục đo xiên góc cân
Hình chiếu trục đo xiên góc lệch
Tam giác hình chiếu là gì?
Tam giác hình chiếu hay còn được gọi là tam giác bàn đạp tại điểm P với tam giác đã cho trước và có ba đỉnh là hình chiếu của điểm P lên ba cạnh của tam giác.
Ta xét tam giác ABC, điểm P trên mặt phẳng không trùng với điểm A, B, C. Các giao điểm của ba đường thẳng đi qua P và kẻ vuông góc với điểm của ba cạnh tam giác BC, CA, AB sẽ lần lượt là L,M,N, đồng thời LMN sẽ là tam giác bàn đạp tương ứng với điểm P trong tam giác ABC.
Với mỗi điểm P sẽ có một tam giác bàn đạp khác nhau, ví dụ:
Nếu P = trực tâm, thì LMN = tam giác orthic
Nếu P = tâm nội tiếp, thì LMN = tam giác tiếp xúc trong
Nếu P = tâm ngoại tiếp, thì LMN = tam giác trung bình
Khi P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, lúc này tam giác bàn đạp sẽ trở thành một đường thẳng.
Quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên, và đường xiên với hình chiếu
Cho một điểm A nằm bên ngoài đường thẳng d, sau đó kẻ một đường thẳng vuông góc tại điểm H và trên d lấy điểm B không trùng với điểm H. Ta có:
Đoạn thẳng AH: Được gọi là đoạn vuông góc hay còn là đường vuông góc bắt đầu kẻ từ A đến đường thẳng d
Điểm H: Là đường xiên góc bắt đầu kẻ từ A đến đường thẳng d
Đoạn thẳng AB: Là đường xiên góc bắt đầu kẻ từ điểm A đến đường thẳng d
Đoạn thẳng HB: Là hình chiếu của đường xiên góc AB ở trên đường thẳng d
Định lý 1: Trong các đường xiên góc và trong đường vuông góc kể từ điểm nằm ngoài đường thẳng, cho đến đường thẳng đó, đường vuông góc sẽ là đường ngắn nhất.
Định lý 2: Trong hai đường xiên góc kể từ điểm nằm ngoài đường thẳng cho đến đường thẳng đó:
Đường xiên góc có hình chiều lớn hơn, tương đương sẽ lớn hơn.
Đường xiên góc lớn hơn, sẽ có hình chiếu lớn hơn.
Hai đường xiên góc bằng nhau, hai hình chiếu sẽ bằng nhau. Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên góc bằng nhau.
Đây đều là những kiến thức vô cùng cần thiết và quan trọng cho các bạn học sinh để áp dụng vào các bài toán trong chương trình học của mình. Hãy thường xuyên luyện tập các kỹ năng thực hành giải toán chắc chắn bạn sẽ trở thành một học sinh ưu tú.
2.6
/
5
(
5
bình chọn
)
Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa:
Nếu đường thẳng a vuông góc với (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 .
Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P).
Kí hiệu: $widehat {left( {a,(P)} right)}$.
Chú ý: $widehat {left( {a,(P)} right)} = widehat {left( {a,a’} right)}$ với a’ là hình chiếu của a trên (P).
Hệ quả:
${0^0} le widehat {left( {a,(P)} right)} le {90^0}.$
$widehat {left( {a,(P)} right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi a//(P) hoặc $a subset (P)$.
$widehat {left( {a,(P)} right)} = {90^0} Leftrightarrow a bot (P).$
2. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Phương pháp 1. (Phương pháp hình học)
+ Tìm $I=dcap (P)$
+ Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)
+ $(d,(P))=widehat{AIH}$
Phương pháp 2. (Phương pháp vec tơ)
+ Gọi $overrightarrow u = (a;b)$ là véc tơ chỉ phương của đướng thẳng a.
+ Gọi $overrightarrow n = (A;B)$ là véc tơ pháp tuyến của (P).
II.Ví dụ minh họa
A. Sử dụng phương pháp hình học
Ví dụ 1.
Cho hình chóp chúng tôi đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=asqrt{6}$. Tính sin của góc giữa:
a). SC và (SAB)
b). AC và (SBC)
Giải
a).Ta có: $BCbot ABtext{ (gt)}$ và $SAbot BC$ (vì $SAbot (ABCD)$)$Rightarrow $$BCbot (SAB)$ do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB) $Rightarrow (SC,(SAB))=widehat{BSC}$. Ta có: $begin{align}
& Rightarrow sin (SC,(SAB))=sin widehat{BSC}= \
& =frac{BC}{SC}=frac{a}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}$
b) Trong mp(SAB) kẻ $AHbot SBtext{ (H}in text{SB)}$. Theo a) $BCbot (SAB)Rightarrow AHbot BC$ nên $AHbot (SBC)$ hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC) $Rightarrow (AC,(SBC))=widehat{ACH}$.
+ Xét tam giác vuông SAB có: $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}=frac{7}{6{{a}^{2}}}Rightarrow AH=a.sqrt{frac{6}{7}}$
+ Vậy $sin (AC,(SBC))=sin widehat{ACH}=frac{AH}{AC}=frac{sqrt{21}}{7}$
Ví dụ 2.
Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $(SAB)bot (ABCD)$, H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Giải
+ Ta có: $AH=frac{1}{2}AB=frac{a}{2},$ $SA=AB=a$, $SH=HC=sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=frac{asqrt{5}}{2}$.
Vì $S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}=frac{5{{a}^{2}}}{4}=A{{H}^{2}}$ nên tam giác SAH vuông tại A hay $SAbot AB$ mà $(SAB)bot (ABCD)$ . Do đó, $SAbot (ABCD)$ và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD).
+ Ta có: $(SC,(ABCD))=widehat{SCA}$, $tan widehat{SCA}=frac{SA}{AC}=frac{sqrt{2}}{2}$. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng $frac{sqrt{2}}{2}$.
Ví dụ 3.
Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Giải
Gọi H là trung điểm của BC suy ra: $AH = BH = CH = frac{1}{2}BC = frac{a}{2}$.
Ta có: $SH bot (ABC) Rightarrow SH = sqrt {S{B^2} – B{H^2}} = frac{{asqrt 3 }}{2}$
$widehat {(SA,(ABC))} = widehat {SAH} = alpha $
$ Rightarrow tan alpha = frac{{SH}}{{AH}} = sqrt 3 Rightarrow alpha = {60^0}$.
Vậy chọn: A.
Ví dụ 4.
Cho hình chóp chúng tôi , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Giải
Ta có: $SA bot (ABCD) Rightarrow SA bot AC$
$ Rightarrow widehat {(SC,(ABCD))} = widehat {SCA} = alpha $
Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên $AC = asqrt 2 ,SA = frac{{asqrt 6 }}{3}$
$ Rightarrow tan alpha = frac{{SA}}{{AC}} = frac{{sqrt 3 }}{3} Rightarrow alpha = {30^0}$
Vậy chọn A.
Ví dụ 5.
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 60° B.90° C. 45° D. 30°
Giải
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)
⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) =$widehat {SAH}$
Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH
Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH
Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ $widehat {SAH}$ = 45°
B. Sử dụng phương pháp véc tơ
(Xem phần 2)
III. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a ; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD) . Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD)
A. 30° B.45° C. 60° D. 90°
Câu 2. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC . Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 30° B.45° C. 60° D. 75°
Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:
A. 45° B. 120° C. 90° D. 65°
Câu 4. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $alpha = {60^0}$ B. $alpha = {30^0}$
C. $cos alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$ D. $sin alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$
Câu 5. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = ${asqrt 6 }$. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
A. $alpha = {60^0}$ B. $alpha = {30^0}$
C. $ alpha ={45^0} $ D. $cos alpha = frac{{sqrt 3 }}{3}$
Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $alpha = {30^0}$ B. $alpha = {45^0}$
C. $tan alpha = frac{2}{{sqrt 3 }}$ D. $tan alpha = sqrt 2 $
Câu 7. Cho hình chóp chúng tôi đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là?
A. $tan beta = sqrt 2 $ B. $tan beta = sqrt 5 $
C. $tan beta = 3 $ D. $tan alpha = 2 $
Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 600 . Tính độ dài SA?
A. $SA = asqrt 5 $ B. $SA = asqrt 3 $
C. $SA = asqrt 15 $ D. $SA = asqrt 13 $
Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 .
A. $SA = asqrt 5 $ B. $SA = asqrt 3 $
C. $SA = asqrt 6 $ D. $SA = asqrt 2 $
Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc $widehat {ACB} = {30^0}$, AC=2a. Tính $tan alpha $ góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).
A. $tan alpha = frac{{sqrt 5 }}{2}$ B. $tan alpha = frac{{sqrt 6 }}{2}$
C. $tan alpha = frac{{1 }}{2}$ D. $tan alpha = frac{{sqrt 3 }}{2}$
———————————-
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng-p2.
Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p1.
Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p2.
Bài 2: Hình Chiếu Vuông Góc
I. Phương pháp chiếu góc thứ nhất (PPCG 1)
1. Xây dựng nội dung
Hình 1. Phương pháp chiếu góc thứ nhất
2. Phương pháp
Chiếu vật thể lên ba mặt phẳng P1, P2, P3 ta thu được các hình chiếu vuông góc tương ứng trên đó là A, B, C:
A: Hình chiếu đứng
B: Hình chiếu cạnh
C: Hình chiếu cạnh
Đường biểu diễn:
Các đường bao thấy sẽ thể hiện bằng nét liền đậm
Các đường khuất sẽ thể hiện bằng nét gạch mảnh (nét đứt)
Các đường tâm, đường trục sẽ thể hiện bằng nét gạch chấm mảnh
3. Vị trí các hình chiếu trên bản vẽ
Nếu ta chọn mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là mặt phẳng bản vẽ, ta sẽ phải xoay P2 và P3 về cùng mặt phẳng với P1 bằng cách:
Xoay P2 xuống phía dưới một góc 90o
Xoay P3 sang phải một góc 90o
Khi đó ta sẽ thu được hình chiếu vuông góc của vật thể trên mặt phẳng bản vẽ
Hình 2. Vị trí các hình chiếu theo PPCG1 Khi đó trên bản vẽ kĩ thuật:
Hình chiếu bằng B đặt dưới hình chiếu đứng A
Hình chiếu cạnh C sẽ đặt bên phải hình chiếu đứng A
II. Phương pháp chiếu góc thứ ba (PPCG 3)
1. Xây dựng nội dung
Hình 3. Phương pháp chiếu góc thứ ba
2. Phương pháp
Chiếu vật thể lên ba mặt phẳng P1, P2, P3 ta thu được các hình chiếu vuông góc tương ứng trên đó là A, B, C:
A: Hình chiếu đứng
B: Hình chiếu cạnh
C: Hình chiếu cạnh
Đường biểu diễn:
Các đường bao thấy sẽ thể hiện bằng nét liền đậm
Các đường khuất sẽ thể hiện bằng nét gạch mảnh (nét đứt)
Các đường tâm, đường trục sẽ thể hiện bằng nét gạch chấm mảnh
3. Vị trí các hình chiếu
Chọn mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là mặt phẳng bản vẽ:
Xoay P2 lên trên một góc 90o
Xoay P3 sang trái một góc 90o
Khi đó ta cũng sẽ thu được hình chiếu vuông góc của vật thể trên mặt phẳng bản vẽ
Hình 4. Vị trí các hình chiếu theo PPCG 3 Khi đó trên bản vẽ kĩ thuật:
Hình chiếu bằng B đặt phía trên hình chiếu đứng A
Hình chiếu cạnh C đặt ở bên trái hình chiếu đứng A
Cập nhật thông tin chi tiết về Bài 2 : Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên, Đường Xiên Và Hình Chiếu trên website Englishhouse.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!